资源描述
2.1.3 方程组的解集
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知是关于x，y的二元一次方程组
的一组解，则a＋b＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案 A
解析 将代入方程组得
解这个方程组得所以a＋b＝5，故选A.
2．三元一次方程组的解集是( )
A．{(1,2,3)} B．{(2,3,1)}
C．{(2,1,3)} D．{(3,2,1)}
答案 B
解析 已知
由①＋③得4x＋2z＝10， ④
由①×3＋②，得11x＋2z＝24， ⑤
由⑤－④，解得x＝2.
将其代入⑤，解得z＝1，把x＝2，z＝1代入①，
解得y＝3.所以原方程组的解为即其解集是{(2,3,1)}．故选B.
3．方程组＝＝x＋y－4的解集是( )
A．{(－3，－2)} B．{(6,4)}
C．{(2,3)} D．{(3,2)}
答案 D
解析 令＝＝x＋y－4＝k，则有x＝3k，y＝2k，代入x＋y－4＝k得5k－4＝k，解得k＝1，从而得x＝3，y＝2，即所求方程组的解集是{(3,2)}．故选D.
4．三元一次方程组的解集是( )
A．{(3,6,16)} B．{(4,6,2)}
C．{(6,4,2)} D.
答案 C
解析 方程组整理得
由①得x＝y，由②得z＝y，代入③得y＋2y＋y＝16，即y＝4，把y＝4代入得x＝6，z＝2，则方程组的解为即其解集为{(6,4,2)}．故选C.
5．方程组的解集是( )
A．{(3,5)} B.
C．{(2,3)} D．{(3,15)}
答案 B
解析 已知
方程①可变形为(2x－3y)(2x＋3y)＝15， ③
把②代入③中，得5(2x＋3y)＝15，即2x＋3y＝3，于是，原方程组化为解这个二元一次方程组，得即其解集为.故选B.
二、填空题
6．三元一次方程组的解集是________．
答案 {(1，－1，－2)}
解析 已知
由①＋②，得2x＋4y＝－2，即x＋2y＝－1， ④
由②×3＋③，得3x＋11y＝－8， ⑤
④⑤组成二元一次方程组得
解得
代入②得z＝－2.故原方程组的解为
即其解集是{(1，－1，－2)}．
7．方程组的解集是________．
答案 {(2,0)，(0，－1)}
解析 已知
由②得x＝2y＋2 ③，
把③代入①，整理得8y2＋8y＝0，即y(y＋1)＝0，解得y1＝0，y2＝－1，把y1＝0代入③，得x1＝2，把y2＝－1代入③，得x2＝0，所以原方程组的解是或即其解集是{(2,0)，(0，－1)}．
8．甲、乙、丙三个正整数的和为100，将甲数除以乙数或将丙数除以甲数，所得的商都是5，余数都是1，则甲、乙、丙分别为________．
答案 16,3,81
解析 设甲、乙、丙分别为x，y，z，所以
x＋y＋z＝100， ①
＝5余1⇒x＝5y＋1， ②
＝5余1⇒z＝5x＋1， ③
组成三元一次方程组
解得
三、解答题
9．在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．
解 根据题意，得
②－①，得3a＋3b＝3，即a＋b＝1. ④
③－①，得24a＋6b＝60，即4a＋b＝10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组为
解得把代入①，得c＝－5.
即a，b，c的值分别为3，－2，－5.
10．求下列方程组的解集：
(1)
(2)
解 (1)已知
把方程①移项，再两边平方，得x2－1＝y＋2.整理，得x2－y－3＝0. ③
方程③－②，得x2－2x－15＝0，
解得x1＝5，x2＝－3.
把x＝5代入方程②，解得y＝22；
把x＝－3代入方程②，解得y＝6.
将或分别代入原方程组检验，它们都是原方程组的解，
原方程组的解是或
即其解集为{(5,22)，(－3,6)}．
(2)已知
由①得x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0，所以x＋y＝0或x－y－5＝0，所以原方程组可化为两个方程组
或
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是
或或或
即其解集为{(－1，－6)，(6,1)，(，－)，(－，)}．
B级：“四能”提升训练
1．某足球联赛前三名的比赛成绩如下表所示：
胜/场
平/场
负/场
积分
甲队
8
2
2
26
乙队
6
5
1
23
丙队
5
7
0
22
问：每队胜一场，平一场，负一场各得多少分？
解 设每队胜一场得a分，平一场得b分，负一场得c分．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
2．k为何值时，方程组
(1)有两组相等的实数解；
(2)有两组不相等的实数解；
(3)没有实数解．
解 已知
将②代入①，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. ③
(1)当时，方程③有两个相等的实数根，
即解得⇒k＝1.
当k＝1时，原方程组有两组相等的实数解．
(2)时，方程③有两个不相等的实数解．
即解得⇒k<1且k≠0.
当k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解．
(3)因为在①、②中已知方程组有两组解，可以确定方程③是一元二次方程，但在此问中不能确定方程③是否是二次方程，所以需分两种情况讨论．
(ⅰ)若方程③是一元二次方程，无解条件是即解得⇒k>1.
(ⅱ)若方程③不是二次方程，则k＝0，此时方程③为－4x＋1＝0，它有实数解x＝.
综合(ⅰ)(ⅱ)两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数解．
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