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第3课时 分段函数
[A 基础达标]
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A. B．3
C. D.
解析：选D.f(3)＝，f(f(3))＝f＝＋1＝＋1＝.
3．(2019·广东深圳中学期中考试)已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是( )
A. B．9
C．－1或1 D．－或
解析：选A.依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝.故选A.
4．函数f(x)＝x2－2|x|的图像是( )
解析：选C.f(x)＝分段画出，应选C.
5．已知函数f(x)的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于 ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B.由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝所以f＝－1＝－，
所以f＝f＝－＋1＝.
6．已知f(n)＝则f(8)＝________．
解析：因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13))．因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
答案：7
7．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a，则实数a＝________．
解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
答案：
8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月交水费16m元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．
解析：该单位职工每月应交水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
答案：13
9．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图像；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
解：(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．
(2)由于f＝，结合此函数图像可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0，1]．
10．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图像．
解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，
即f(f(f(5)))＝－1.
(2)图像如图所示．
[B 能力提升]
11．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x<0}
解析：选A.当x≥0时，f(x)＝1，
xf(x)＋x≤2⇔x≤1，
所以0≤x≤1；
当x<0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2⇔x≤2，
所以x<0.综上，x≤1.
12．已知实数a≠0，函数f(x)＝
若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.
答案：－
13．如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0<t<6)左侧的图形的面积为f(t)，求函数f(t)的解析式．
解：当0<t≤2时，f(t)＝×t×t＝；
当2<t≤4时，f(t)＝×4×2－(4－t)×(4－t)＝－t2＋4t－4；
当4<t<6时，f(t)＝×4×2＝4.
所以函数f(t)的解析式为
f(t)＝
14．设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，求x0的取值范围．
解：因为x0∈A，
所以0≤x0<，
且f(x0)＝x0＋，
又≤x0＋<1，
所以∈B，
所以f(f(x0))＝2＝2，
又f(f(x0))∈A，
所以0≤2<，
解得＜x0≤，又0≤x0＜，
所以<x0<.
[C 拓展探究]
15．讨论方程x2－4|x|＋5＝m的实根的个数．
解：将方程x2－4|x|＋5＝m的实根个数问题转化为函数y＝x2－4|x|＋5的图像与直线y＝m的交点个数问题．
作出函数y＝x2－4|x|＋5＝的图像，如图所示．
由图像可以看出：
①当m＜1时，直线y＝m与该图像无交点，此时方程无解；
②当m＝1时，直线y＝m与该图像有2个交点，此时方程有2个实根；
③当1＜m＜5时，直线y＝m与该图像有4个交点，此时方程有4个实根；
④当m＝5时，直线y＝m与该图像有3个交点，此时方程有3个实根；
⑤当m＞5时，直线y＝m与该图像有2个交点，此时方程有2个实根．
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