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单元素养评价(一)
(第一章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，
则A∩B= ( )
A.{-1，0，1} B.{0，1}
C.{-1，1} D.{0，1，2}
【解析】选A.B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，所以A∩B={-1，0，1}.
2.命题p：∀x∈[-1，1]，x2-1≤0的否定是 ( )
A.p：∀x∈[-1，1]，x2-1>0
B.p：∀x∈[-1，1]，x2-1≥0
C.p：∃x∈[-1，1]，x2-1≥0
D.p：∃x∈[-1，1]，x2-1>0
【解析】选D.命题p是全称量词命题，其否定为存在量词命题，即p：∃x∈[-1，1]，x2-1>0.
3.设集合U={x|x<5，x∈N*}，M={x|x2-5x+6=0}，则UM= ( )
A.{1，4} B.{1，5}
C.{2，3} D.{3，4}
【解析】选A.由集合U={x|x<5，x∈N*}={1，2，3，4}，M={x|x2-5x+6=0}
={2，3}，
则UM={1，4}.
4.设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当a=1时，N={1}，可推出“N⊆M”.当“N⊆M”时，有a2=1或a2=2，
解得a=±1或a=±，不能推出a=1.
【加练·固】
设M，N是两个集合，则“M∪N≠”是“M∩N≠”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由维恩图易知“M∪N≠”“M∩N≠”，且“M∩N≠”⇒
“M∪N≠”.
5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 ( )
A.每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
B.对任意非正数c，若a≤b+c，则a≤b
C.存在一个菱形不是平行四边形
D.存在一个实数x使不等式x2-3x+7<0成立
【解析】选B.A，B为全称量词命题，但A为假命题，B为真命题.
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当四边形ABCD为菱形时，其对角线互相垂直，必有AC⊥BD；但当AC⊥BD时，四边形不一定是菱形(如图)，
因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
7.如图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合
是 ( )
A.(IA∩B)∩C B.(IB∪A)∩C
C.(A∩B)∩IC D.(A∩IB)∩C
【解析】选D.补集IB画成维恩图如图(1)，交集A∩IB画成维恩图如图(2)，而(A∩IB)∩C画成维恩图就是题目的维恩图.
8.若集合A={x|1≤x<2}，B={x|x>b}，且A∩B=A.则实数b的范围是 ( )
A.b≥2 B.1<b≤2
C.b≤2 D.b<1
【解析】选D.因为A∩B=A，所以A⊆B，所以b<1.
9.已知集合A={0}，B={-1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数
为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C.由题意得，满足题意的集合C可以是{0}，{0，-1}，{0，1}和
{0，-1，1}共4个.
10.已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a的取值为 ( )
A.a>- B.a≥-
C.a=- D.a=-或1
【解析】选D.若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：①当a=1时，x=，满足题意，
②当a≠1时，Δ=8a+1=0，所以a=-，
综上所述，a=-或1.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，4}，B={0，1，3}，则( )
A.A∩B={0，1}
B.UB={4}
C.A∪B={0，1，3，4}
D.集合A的真子集个数为8
【解析】选AC.因为A={0，1，4}，B={0，1，3}，所以A∩B={0，1}，
A∪B={0，1，3，4}，选项A，C都正确；
又全集U={0，1，2，3，4}，所以UB={2，4}，
选项B错误；集合A={0，1，4}的真子集有7个，所以选项D错误.
12.有下列命题中，真命题有 ( )
A.∃x∈N*，使x为29的约数
B.∀x∈R，x2+x+2>0
C.存在锐角α，sin α=1.5
D.已知A={a|a=2n}，B={b|b=3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B=
【解析】选AB.
A中命题为真命题.当x=1时，x为29的约数成立；
B中命题是真命题.x2+x+2=+>0恒成立；
C中命题为假命题.根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有
0<sin α<1；
D中命题为假命题.易知6∈A，6∈B，故A∩B≠.
13.下列说法正确的是 ( )
A.“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件
B.若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则p：某班至少有一个女生爱踢足球
C.“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”
D.“k>4，b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件
【解析】选AD.对于A，“a2+a≠0”⇔“a≠-1且a≠0”，“a≠0”“a≠-1且a≠0”，“a≠-1且a≠0”⇒“a≠0”，所以“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件是正确的；
对于B，若命题p：某班所有男生都爱踢足球，
则p：某班至少有一个男生不爱踢足球，所以原说法是错误的；
对于C，“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，所以选项C中的说法是错误的；
对于D，当k>4，b<5时，函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示，显然交y轴于负半轴，交x轴于正半轴.
由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，
即x=0，y=b-5<0，所以b<5.
当y=0时，x=>0，
因为b<5，所以k>4.所以选项D中的说法是正确的.
三、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)
14.设集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>0}，则A∩B=________，(RB)∪A=________.
【解析】因为A={x|-1<x<2}，B={x|x>0}，所以A∩B={x|0<x<2}，
(RB)∪A={x|x<2}.
答案：{x|0<x<2} {x|x<2}
【加练·固】
已知集合A={-1，0，1}，B={x|x2-3x+m=0}，若A∩B={0}，则B=________.
【解析】因为A∩B={0}，所以0∈B，所以m=0，所以B={0，3}.
答案：{0，3}
15.已知集合A为数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【解析】由“A={0}”可推出“A∩{0，1}={0}”，
由“A∩{0，1}={0}”推不出“A={0}”，例如：A={0，2}时也有A∩{0，1}={0}，
所以“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件.
答案：必要不充分
【加练·固】
若命题“∀x∈(3，+∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________.
【解析】由题意知当x>3，有x>a恒成立，则a≤3.
答案：(-∞，3]
16.设p：-m≤x≤m(m>0)，q：-1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________ .
【解析】设A=[-m，m]，B=[-1，4]，
若p是q的充分条件，则A⊆B，
所以所以0<m≤1，
所以m的最大值为1，若p是q的必要条件，
则B⊆A，所以
所以m≥4，则m的最小值为4.
答案：1 4
17.已知集合A=(0，2)，集合B=(-1，1)，集合C={x|mx+1>0}，若A∪B⊆C，则实数m的取值范围为________ .
【解析】由题意，A∪B=(-1，2)，
因为集合C={x|mx+1>0}，A∪B⊆C，
①m<0，x<-，所以-≥2，
所以m≥-，所以-≤m<0；
②m=0时，成立；
③m>0，x>-，所以-≤-1，
所以m≤1，所以0<m≤1，
综上所述，实数m的取值范围为.
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.(12分)设A={x∈Z||x|≤6}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，求：
(1)A∪(B∩C).
(2)A∩A(B∪C).
【解析】(1)由题意得A={-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，
B∩C={3}，所以A∪(B∩C)={-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}.
(2)B∪C={1，2，3，4，5，6}，
A(B∪C)={-6，-5，-4，-3，-2，-1，0}，
A∩A(B∪C)={-6，-5，-4，-3，-2，-1，0}.
19.(14分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：∀m∈R，<0.
(2)q：圆上任一点到圆心的距离是r.
(3)r：∃x，y∈Z，2x+4y=.
(4)s：存在一个无理数，它的立方是有理数.
【解析】(1)p：∃m∈R，≥0.
-m2-1<0，所以<0，p是真命题，所以p是假命题.
(2)q：圆上存在一点到圆心的距离不是r；
由q是真命题，所以q是假命题.
(3)r：∀x，y∈Z，2x+4y≠；
若x，y∈Z，则x+2y也是整数，不可能等于，所以r是假命题，所以r是真命题.
(4)s：任意一个无理数，它的立方都不是有理数.
是无理数，()3=2是有理数，所以s是真命题，s是假命题.
20.(14分)已知不等式m-1<x<m+1成立的充分不必要条件是<x<，求实数m的取值范围.
【解析】由题意(m-1，m+1)，
所以
所以-≤m≤.
所以实数m的取值范围是.
21.(14分)设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2}，求实数a的值.
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意可知：A={2，1}，因为A∩B={2}，所以2∈B，
将2代入集合B中得：4+4(a-1)+(a2-5)=0，解得：a=-5，a=1.
当a=-5时，集合B={2，10}，符合题意；
当a=1时，集合B={2，-2}，符合题意.
综上所述：a=-5或a=1.
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=8(3-a)，
①当Δ<0时，即a>3时，B=满足条件；
②当Δ=0，即a=3时，B={-2}不满足条件；
③当Δ>0，即a<3时，B=A={1，2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得，
所以矛盾；
综上，a的取值范围是(3，+∞).
22.(14分)已知集合A={x|3≤x<7}，B={2<x<10}，C={x|5-a<x<a}.
(1)求A∪B，(RA)∩B.
(2)若C⊆(A∪B)，求a的取值范围.
【解析】(1)因为集合A={x|3≤x<7}，B={2<x<10}，在数轴上表示可得：
故A∪B={x|2<x<10}，RA={x|x<3或x≥7}，
(RA)∩B={2<x<3或7≤x<10}.
(2)依题意可知
①当C=时，有5-a≥a，得a≤；
②当C≠时，有
解得<a≤3.
综上所述，所求实数a的取值范围为(-∞，3].
23.(14分)已知p：∀x∈R，m<x2-1，q：∃x∈R，x2+2x-m-1=0，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围.
【解析】由x∈R得x2-1≥-1，
若p：∀x∈R，m<x2-1为真命题，
则m<-1.
若q：∃x∈R，x2+2x-m-1=0为真，
则方程x2+2x-m-1=0有实根，
所以4+4(m+1)≥0，所以m≥-2.
因为p，q都是真命题，
所以所以-2≤m<-1.
所以实数m的取值范围为[-2，-1).
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