2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2指数函数第1课时指数函数的概念图象及性质应用案巩固提升新人教A版必修第一册.doc

第1课时 指数函数的概念、图象及性质
[A　基础达标]
1．下列函数中，指数函数的个数为(　　)
①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；
③y＝1x；④y＝－1.
A．0　 B．1
C．3 D．4
解析：选B.由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选B.因为1－3x≥0，即3x≤1，所以x≤0，即x∈(－∞，0]．
3．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是(　　)

解析：选B.对于函数f(x)＝ax，当x＝0时，f(0)＝a0＝1，当x＝2时，f(2)＝a2.
由于指数函数是单调函数，则有a2>1，即a>1.
则函数f(x)的图象是上升的，且在x轴上方，结合选项可知B正确．
4．(2019·四川凉山州期中测试)函数y＝－1的值域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(－1，1)
C．(－1，＋∞) D．[－1，1)
解析：选D.因为4－2x≥0，所以2x≤4，即x≤2，即函数的定义域是(－∞，2]．因为0<2x≤4，所以－4≤－2x<0，所以0≤4－2x<4.
令t＝4－2x，则t∈[0，4)，所以∈[0，2)，
所以y∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1)，故选D.
5．已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　)

A．a＞1，b＞1
B．a＞1，0＜b＜1
C．0＜a＜1，b＞1
D．0＜a＜1，0＜b＜1
解析：选D.根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，
所以指数函数的底数a∈(0，1)，
根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，
解得b∈(0，1)，
即a∈(0，1)，b∈(0，1)，
故选D.
6．函数f(x)＝2x在[－1，3]上的最小值是________．
解析：因为f(x)＝2x在[－1，3]上单调递增，所以最小值为f(－1)＝2－1＝.
答案：
7．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝________．
解析：由得m＝2.
答案：2
8．已知函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围是________．
解析：由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.
答案：(0，1)
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝.
解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2>0且2≠1，故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0，9]．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
解：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，所以a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，函数为减函数，当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)的值域是(0，2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)的值域是(1，3]．
[B　能力提升]
11．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)

解析：选C.由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
12．若方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，所以a≥1或a＝0.

答案：{a|a≥1或a＝0}
13．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.
解：如图．

(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的．
(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．

解：(1)因为f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，
所以解得a＝，b＝－3.
(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0，1)，
因为f(0)＝1＋b<0，即b<－1，所以b的取值范围为(－∞，－1)．　
(3)由题图①可知y＝|f(x)|的图象如图所示．由图可知使|f(x)|＝m有且仅有一个实数解的m的取值范围为m＝0或m≥3.

[C　拓展探究]
15．设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：

(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．

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