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2.2.2 对数函数及其性质
课堂导学
三点剖析
一、对数函数的概念、性质及其图象
【例1】 分别求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
思路分析:求函数的定义域关键是找出自变量满足的各个约束条件，解不等式组.
解:(1)要使函数有意义,必须loga(1-x)2≠0,即则得到
函数的定义域为{x|x∈R且x≠1,x≠2,x≠0}.
(2)要使函数有意义,则有>01-3x>03x<1x<0.
因此函数的定义域为(-∞,0).
(3)要使函数有意义,则有logx(3-x)>0 ①或 ②
解①得1<x<2,解②得x∈.
因此,函数的定义域为(1,2).
温馨提示
求函数的定义域一般地根据其解析式列出其约束条件,然后解不等式（组）.分式中，分母不为零；偶次根式被开方数大于或等于零；对数式中,真数大于零，底数大于0且不于1等.
【例2】 比较下列各组数的大小.
(1)loga2+a+3π,loga2+a+3;
(2)loga4.7,loga5.1(a>0且a≠1);
(3)log34,log43;
(4)log32,log50.2;
(5)log20.4,log30.4;
(6)3log45,2log23.
思路分析:观察各组数的特征,看其是否直接可以利用对数单调性比较大小.
解:(1)底数相同,且为a2+a+3=(a+)2+>1,根据单调递增性,得loga2+a+3π>loga2+a+3.
(2)底数相同,但大小不定,所以需对a进行讨论.当a>1时,loga4.7<loga5.1;当0<a<1时,loga4.7>loga5.1.
(3)底数不同,但是log34>log33=1,log43<log44=1,因此,log34>log43.
(4)底数不同,但是log32>log31=0,log50.2<log51=0,因此,有log32>log50.2.
(5)底数不同,但真数相同,此类问题有两种方法.
解法一:根据y=logax的图象在a>1时,a越大,图象越靠近x轴,如图所示,知
log30.4>log20.4.
解法二:换底.log20.4=,log30.4=.由于log0.43<log0.42<0,因此log30.4=>=log20.4.
(6)利用换底公式化同底.3log45=3=log25=log2.2log23
=log29<log2=3log45.
温馨提示
常见的对数比较大小有以下三种类型:
(1)底数相同,可直接利用单调性比较;
(2)底数不同,看是否可用插值法,如插入1=logaa,0=loga1进行间接比较;
(3)底数不同,真数相同,则可用图象关系或进行换底后比较.
二、运算性质的应用
【例3】 （1）作出y=lg|x|的图象，并指出单调区间；
（2）作出y=|lgx|的图象，并指出单调区间.
解析：（1）∵f(-x)
=lg|(-x)|
=lg|x|=f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.先画出x>0时的图象,再利用其对称性完成整个函数的图象.
f(x)=lg|x|=如上图.
∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
（2）当lgx≥0，即x≥1时，y=lgx；
当lgx＜0，即0＜x＜1时，y=-lgx.
其图象如下图：
由图象可知其单调增区间为［1，+∞），单调减区间为（0，1］.
三、对数函数的单调性
【例4】 求函数y=(1-x2)的单增区间.
思路分析:求复合函数单调区间时,必须首先考虑其定义域,单调区间必是定义域的子区间.
解:要使函数有意义,则有1-x2>0x2<1|x|<1-1<x<1.
∴函数的定义域为x∈(-1,1).
令t=1-x2,x∈(-1,1).
画出t=1-x2在(-1,1)上的图象,图略.
在x∈(-1,0)上,x↗,t↗,y=t↘,
即在(-1,0)上,y随x增大而减小,为减函数;
在［0,1］上,x↗,t↘,y=t↗,即在［0,1］上,y随x的增大而增大,为增函数.
∴y=(1-x2)的增区间为［0,1).
温馨提示
1.求复合函数的单调区间一般有如下几个步骤：（1）首先求出函数的定义域.（2）研究里层函数和外层函数在定义域上的单调性.（3）根据复合函数“同增异减”的原则，判断出函数的增减性求出单调区间.
2.复合函数y=f［g(x)］与里层函数μ=g(x)与外层函数y=f(μ)单调性之间的关系（见下表）
函数
单调性
Y=f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y=f［g(x)］
增函数
减函数
减函数
增函数
【例5】已知函数f(x)=lg(x2-2x+a),若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
思路分析:f(x)的定义域为R,即x2-2x+a>0恒成立,转化为二次函数来说明容易理解,二次函数的最小值大于零即可.
解:f(x)的定义域为R,即t=x2-2x+a>0恒成立,也即二次函数图象在x轴上方.
由于t=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,只要a-1>0即可,
∴a的取值范围为a>1.
温馨提示
y=lg(x)的定义域为R等价转化为g(x)>0的解集为R，本题中g(x)=x2-2x+a开口向上，解集为R.于是等价转化为g(x)=x2-2x+a的判别式Δ<0，或转化为g(x)min>0.
各个击破
类题演练1
求下列函数的定义域:
（1）y=log2x-1;（2）y=.
解析：（1）
解得x＞且x≠1，
∴函数的定义域为（，1）∪（1，+∞）.
（2）x2即
解得x＞，且x≠1.
∴函数的定义域为（，1）∪（1，+∞）.
变式提升1
（2006广东，1）函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是（ ）
A.（-，+∞） B.(- ,1) C.(-,) D.(-∞,-)
解析：解得
-<x<1.
答案：B
类题演练2
比较下列各组数的大小:
(1),16,lg9;
(2)(0.3)-0.4,log0.30.4,log0.34;
(3)log2(x+1)与log2(2x+3);
(4)logax与2log2ax(1<a<2).
答案：（1）＞lg9＞16 （2）(0.3)-0.4＞log0.30.4＞log0.34 （3）log2(x+1)＜log2(2x+3) （4）当0＜x＜1时，logax＜2log2ax；当x=1时，logax=2log2ax；当x＞1时，logax＞2log2ax
变式提升2
(1)若0＜a＜b＜1，试确定logab，logba，a，b的大小关系.
解析：∵0＜a＜b＜1，由对数函数，y=logax的性质可知0＜logab＜1;logba=＞1；
a==-，
∴a为负值且|a|＞1，b==-logab，
∴b为负值且|b|＜1.∴logba＞logab＞b＞a.
答案：logba＞logab＞b＞a
(2)已知logn5＞logm5，试确定m和n的大小关系.
解析：令y1=logm5，y2=logn5，由于logn5＞logm5，它们的图象可能有如下三种情况：（如下图）
由对数函数在第一象限的图象规律知，m＞n＞1;0＜n＜m＜1;n＞1,0＜m＜1.
类题演练3
作出函数y=lg（-x）的图象，并指出其单调区间.
解析：y=lg（-x）的图象与y=lgx的图象关于y轴对称，如下图所示，单调减区间是（-∞，0）.
变式提升3
作出y=|lg|x||的图象
解析：先作出y=lg|x|的图象，然后将x轴下方的图象对折到x轴的上方，图象如图：
类题演练4
求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.
解析：先求这个函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<-，或x>3.
μ=2x2-5x-3,y=log0.1μ
由于对数的底数0.1<1,故已知函数y=log0.1μ是减函数，欲求它的递减区间，只要求出函数.μ=2x2-5x-3(x<-,或x>3)的递增区间，由于μ=2(x-)2-6,可得μ=2x2-5x-3(x<-或x>3)的递增区间为（3，+∞），从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.
答案：（3,+∞）
变式提升4
已知y=log4(2x+3-x2),
(1)求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
解：（1）由真数2x+3-x2>0,解得-1<x<3,
∴定义域是{x|-1<x<3}.
(2)令μ=2x+3-x2,则μ>0,y=log4μ,
由于μ=2x+3-x2=-(x-1)2+4.
考虑到定义域，其增区间是（-1，1），减区间是［1，3］.
又y=log4μ在μ∈(0,+∞)上是增函数，故该函数的增区间是（-1，1），减区间是［1，3］.
（3）∵μ=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4,
∴y=log4(2x+3-x2)≤log44=1.
∴当x=1,μ取得最大值4时，y就取得最大值1.
类题演练5
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围.
解析：设μ（x)=ax2+2x+1,若f(x)的定义域为R，即对任意x，都有μ（x）>0则解之得a>1.
答案：（1，+∞）
变式提升5
设函数f(x)=|log3x|，若f(a)>f(2),则a的取值范围为___________________.
解析：当log3a>0时：log3a>log32,则a>2;
当log3a<0时：f(a)>f(2)-log3a>log32log3>log32
∴0<a<.
答案：（0，）
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