2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：2.2对数函数知识导学案-.doc

2.2 对数函数
知识导学
一般地,对于一个数a(a>0且a≠1),如果a的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底的N的对数,记作logaN=b,其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.
在实际应用中,一定要注意指数式与对数式的等价性,即logaN=bab=N.
对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算.
一般地,我们称logaN=为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时,一方面要证明它和它的几个推论;另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底,不要盲目地换底,以简化我们的解题过程.
有了对数的概念后,要求log0.840.5的值,我们需要引入两个常用的对数:常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数;自然对数是指以e(e=2.718 28…,是一个无理数)为底的对数.
有了常用对数和自然对数,再利用对数的运算性质,我们就可以求log0.840.5的值了.
对数恒等式:=N的证明也很简单,只要紧扣对数式的定义即可证明.
∵ab=N,∴b=logaN.
∴ab==N,
即=N.
如=5, =6等.要熟记对数恒等式的形式,会使用这一公式化简对数式.
作对数函数的图象一般有两种方法:一是描点法,即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象;二是通过观察它和指数函数图象之间的关系,并利用它们之间的关系作图.
比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,可利用对数函数的性质比较;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.比较两个对数式的大小,底相同时,可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)与指数函数y=ax(a>0且a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于直线y=x对称.
因此,我们只要画出和y=ax的图象关于直线y=x对称的曲线,就可以得到y=logax的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质.
疑难导析
通过将对数函数与指数函数的图象进行对比,可以发现:当a>1或0<a<1时,对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0,+∞)上同时为增函数,或者同时为减函数〕.对数函数的图象都经过点(1,0),这与性质loga1=0a0=1是分不开的.
对数函数的反函数是指数函数,所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到:这两种函数都要求底数a>0,且a≠1;对数函数的定义域为(0,+∞),结合图象看,对数函数在y轴左侧没有图象,即负数与0没有对数,也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.
性质靠图象体现,图象靠性质总结.
数形结合不仅是我们研究函数的一个重要工具,同时也是我们在解题时的常用方法.借助图形的形象直观,可以迅速准确地得到相关问题的答案,尤其是选择题,能结合图象来思考,会事半功倍.
问题导思
对数换底公式口诀:
换底公式真神奇,换成新底可任意,
原底加底变分母,真数加底变分子.
对数函数的运算性质的助记口诀:
积的对数变加法,商的对数变为减,
幂的乘方取对数,要把指数提到前.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数,
底数只能大于0,等于1来也不行,
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
比较两个对数型的数的大小是一种常见的题型,好好把握.
两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①确定所要考查的对数函数;
②根据对数底数判断对数函数增减性;
③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.
典题导考
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利用数形结合的方法可以快速地比较两个对数的大小,有时也可以画出函数的略图.由此可见,学会一种思考方法比解决一道题目更重要.
典题变式 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;
(2)log0.31.8,log0.32.7;
(3)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1).
答案:(1)log23.4<log28.5;
(2)log0.31.8>log0.32.7;
(3)当a>1时,loga5.1<loga5.9;
当0<a<1时,loga5.1>loga5.9.
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本题的求解中,分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性.
典题变式
1.已知3a=2,用a表示log34-log36.
答案:a-1.
2.已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.
答案: (a+b+1).
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研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.
典题变式
1.已知函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F,函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G,那么( )
A.GF B.G=F C.FG D.F∩G=
答案:A
2.求函数y=(-x2+4x+5)的定义域和值域.
答案:函数的定义域为{x|-1<x<5};值域为{y|y≥-2}.
3.已知f(x)=loga (a>0且a≠1).
(1)求函数的定义域;
(2)讨论函数的单调性;
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
解答:(1)定义域为(-1,1).
(2)当a>1时,f(x)为(-1,1)上的增函数;
当0<a<1时,f(x)为(-1,1)上的减函数.
(3)当a>1时,f(x)>0的解为(0,1);
当0<a<1时,f(x)>0的解为(-1,0).
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画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:
平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样,当x≤0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长(0<a<1)到原来的a倍,纵坐标不变;y=af(x)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(0<a<1)或伸长(a>1)到原来的a倍.
典题变式若loga2<logb2<0,则a、b满足的关系是( )
A.1<a<b B.1<b<a C.0<a<b<1 D.0<b<a<1
答案:D
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本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.(1)中函数的定义域为R,由判别式小于零确保;(2)中函数的值域为R,由判别式不小于零确定.
典题变式设a≠0,对于函数f(x)=log3(ax2-x+a),
(1)若x∈R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x) ∈R,求实数a的取值范围.
答案:(1)a>;
(2)0<a≤.