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2.2 对数函数
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2.2.1 对数与对数运算
1.对数的定义
一般地,如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log 10N记为lg N,以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并且把logeN记为lnN.
疑难疏引 (1)因为a>0,所以不论b是什么数,都有a b>0,即不论b是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式b=loga N中真数N永远是正数,换句话说负数和零没有对数.
(2)指数与对数的关系:
ax=N(a>0,a≠1)x=loga N.
(3)负数和零没有对数.
2.对数的运算
(1)换底公式:
①logab=,即有logca·logab=logcb;
②logba=,即有logab·logba=1;
③logambn=logab;
(2)对数恒等式:alogaN=N.
疑难疏引 换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.
3.对数式与指数式的关系
【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.
●案例1下列四个命题中,真命题是( )
A. lg2lg3=lg5
B. lg23=lg9
C.若logaM+ N=b,则M+N=a b
D.若log2M+ log3N=log2N+log3M,则M=N
【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.
【溯源】 初学对数运算性质,容易犯下面错误:loga(M±N)=logaM±logaN, loga(M×N)=logaM×logaN, loga=,logaN n=(logaN) n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.
●案例2求值:
(1);
(2)lg5·lg20+lg22;
(3)已知log23=a,3 b=7,求log1256的值.
【探究】 (1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将3 b=7转化为log37=b,然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式即可求值.
(1) = =.
(2)lg5·lg20+lg22=lg5(lg4+lg5)+lg22=2lg2·lg5+lg25+lg22=(lg2+lg5) 2=1.
(3)解法一:
∵log23=a,∴2 a=3.
又3 b=7,∴7=(2 a) b=2 ab.
故56=2 3+ab.
又12=3·4=2 a·4=2 a+2,
从而56=(2 a+2) =12.故log1256=log1212=.
解法二:
∵log23=a,∴log32=.
又3 b=7,∴log 37=b.从而log1256====
=.
解法三:
∵log23==a,∴lg3=alg2.
又3 b=7,∴lg7=blg3.
∴lg7=ablg2.从而log1256= == =.
【溯源】 (1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.
(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.
2.2.2 对数函数及其性质
1.概念
一般地,我们把函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
2.对数函数的性质
a>1
0<a<1
图象
性质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)图象过定点(1,0)
(4)在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
疑难疏引 对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系:
(1)图象都位于y轴右侧,且以y轴为渐近线→函数定义域为(0,+∞);
(2)图象向上、向下无限延展→函数值域为R;
(3)图象恒过定点(1,0)→1的对数是零,即loga1=0;
(4)当a>1时,图象由左向右逐渐上升,即当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;
当0<a<1时,图象由左向右逐渐下降,即当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数;
(5)当a>1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a>1时,x>1,则y=logax>0;0<x<1,则y=logax<0;
当0<a<1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴下方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴上方,即当0<a<1时,x>1,则y=logax<0;0<x<1,则y=logax>0.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数,
底数只能大于0,等于1来也不行,
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
●案例1比较大小:
(1)log0.27和log0.29;
(2)log35和log65;
(3)(lgm) 1.9和(lgm) 2.1(m>1);
(4)log85和lg4.
【探究】 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29.
(2)考查函数y=logax底数a>1的底数变化规律,函数y=log3x(x>1)的图象在函数y=log6x(x>1)的上方,故log 35>log 65.
(3)把lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>1即m>10,则(lgm) x在R上单调递增,故(lgm) 1.9<(lgm) 2.1.若0<lgm<1即1<m<10,则(lgm) x在R上单调递减,故(lgm) 1.9>(lgm) 2.1.若lgm=1即m=10,则(lgm) 1.9=(lgm) 2.1.
(4)因为底数8、10均大于1,且10>8,所以log85>lg5>lg4,即log 85>lg4.
【溯源】 两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:
(1)直接法:由函数的单调性直接作答;
(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;
(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;
(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;
(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.
●案例2已知函数y=lg(x2+1-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.
【探究】 注意到+x=,即有lg(-x)=-lg(+x),从而f(-x)=lg(+x)=-lg(-x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+∞)上的单调性.
由题意-x>0,解得x∈R,即定义域为R.
又f(-x)=lg［-(-x)］=lg(+x)
=lg=lg(-x) -1
=-lg(-x)=-f(x).
∴y=lg(-x)是奇函数.
任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,
则<+x 1<+x 2
>,
即有-x 1>-x 2>0,
∴lg(-x 1)>lg(-x 2),
即f(x 1)>f(x 2)成立.
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(x)在(-∞,0)上也为减函数.
【溯源】
研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.
●案例3作出下列函数的图象:
(1)y=|log4x|-1;
(2)y=log|x+1|.
【探究】 (1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|log4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.
(2)y=log|x+1|的图象可以看成由y=logx的图象经过变换而得到:将函数y=logx的图象作出,然后关于y轴对称,即得到函数y=log|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,就得到所求的函数y=log|x+1|的图象.
函数(1)的图象作法如图①～③所示.
函数(2)的图象作法如图④～⑥所示.
【溯源】 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:
平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样;当x≤0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长(0<a<1)到原来的a倍,纵坐标不变而得到;y=af(x)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(0<a<1)或伸长(a>1)到原来的a倍而得到.
●案例4已知f(x)=2+log3x, x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,及y取最大值时,x的值.
【探究】 要求函数y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.
【解】 ∵f(x)=2+log3x,
∴y=［f(x)］2+f(x 2)=(2+log3x) 2+2+log3x 2
=(2+log3x) 2+2+2log3x
=log32x+6log3x+6
=(log3x+3) 2-3.
∵函数f(x)的定义域为［1,9］,
∴要使函数y=［f(x)］2+f(x 2)有意义,就需1≤x2≤9,1≤x≤9.
∴1≤x≤3.∴0≤log3x≤1.
∴6≤y=(log3x+3) 2-3≤13.
∴当x=3时,函数y=［f(x)］2+f(x 2)取最大值13.
【溯源】 在处理有关对数的复合函数的问题时,定义域的求解往往是解题的关键所在,同时要注意对数单调性的应用.
●案例5某工厂2006年生产一种产品2万件,计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年.(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( )
A.2015
B.2016
C.2017
D.2018
【探究】 此题是平均增长率问题的变式考题,哪一年的年产量超过12万件,其实就是求在2006年的基础上再过多少年的年产量大于12万件,即求经过多少年.
设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件,
根据题意,得2(1+20%)n>12,即1.2n>6,
两边取对数,得nlg1.2>lg6,
∴n> = =.
∴n=10,即2 006+10=2 016.
因此,选B.
【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果,经常是根据题意列出指数函数,再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式,然后两边取对数,即求解指数方程的解或指数不等式的解集.
3.反函数的图象和性质
对数函数y=log ax(a>0且a≠1)与指数函数y=a x(a>0且a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于y=x对称.
疑难疏引 (1)f(a)=bf -1(b)=a;
(2)若原函数过点(a, b),则其反函数必过点(b, a);
(3)原函数的定义域、值域为其反函数的值域、定义域;
(4)原函数与其反函数的图象关于直线y=x对称.
在遇到反函数问题时,不要盲目将反函数求出,如果合理利用互为反函数的函数图象间的关系和性质,往往可收到事半功倍的效果.
●案例6如何求函数y=5 x2-1(-1≤x<0)的反函数？
【探究】
先求原函数的值域.由-1≤x<0,
∴-1<x2-1≤0.∴<5 x2-1≤1,即<y≤1,y=5 x2-1log5y=log55 x2-1log5y=x2-1x2=1+log5y.
∵-1≤x<0,∴x=-,即y=- (<x≤1).
【溯源】
求反函数时,首先要求值域,然后解关于x的方程,第三要把解出的方程中的x、y互换位置,用f -1(x)表示,最后把原函数的值域作为定义域标出.
关于对数运算的几点提示:
(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且a≠1,N>0,b∈R)容易记错.
(2)解决对数函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论.
(3)关于对数式logaN的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供学习时参考.
以1为分界点,当a、N在同侧时,logaN>0;当a、N在异侧时,logaN<0.
活学巧用
1.的值是( )
A.
B. 1
C.
D. 2
【思路解析】 考查有关对数的运算性质,logambn=logab.
【答案】 A
2. 若log2［log(log2x)］=log3［log(log3y)］=log5［log(log5z)］=0,则x、y、z的大小关系是( )
A. z<x<yB. x<y<z
C. y<z<xD. z<y<x
【思路解析】 依特殊的对数式loga1=0及logaa=1可分别求出相应的x、y、z的值.
log5［log(log5z)］=0,可知log(log5z)=1,所以log5z=,可得z=5.同理可得x=2,y=3,借助分数指数幂可得这三个数的大小,答案为D.
【答案】 D
3. 下列各式中成立的是( )
A. logax 2=2logax
B. loga|xy|=loga|x|+loga|y|
C. loga3>loga2
D. loga =logax- logay
【思路解析】 用对数的运算法则解决问题.
A、D的错误在于不能保证真数为正,C的错误在于a值不定.选B.
【答案】 B
4. 求下列各式中的x:
(1)logx=-;
(2)logx5=;
(3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.
【思路解析】 根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.
【解】 (1)原式转化为()-=x,所以x=.
(2)原式转化为x =5,所以x=.
(3)由对数性质得解得x=8.
5. 已知loga2=m,loga3=n,则a 2m-n=__________.
【思路解析】 首先把对数式化为指数式,再进行指数运算.
∵loga2=m,loga3=n,
∴a m=2,a n=3.
∴a 2m-n= = ==.
【答案】
6. (1)已知3a=2,用a表示log34-log36;
(2)已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.
【解】 (1)∵3a=2,∴a=log32.
∴log34-log36=log3 =log32-1=a-1.
(2)∵3b=5,∴b=log35.
又∵log32=a,
∴log3=log3(2×3×5)= (log32+log33+log35)=(a+b+1).
7. (1)将下列指数式写成对数式:
①2 10=1 024;②10 -3=;③0.3 3=0.027;④e0=1.
(2)将下列对数式写成指数式:
①log0.46.25=-2;
②lg2=0.301 0;
③log 310=2.095 9;
④ln23.14=x.
【思路解析】
应用指数式与对数式的等价关系求解.
【答案】
(1)①log21 024=10;②lg=-3;③log0.30.027=3;④ln1=0.
(2)①0.4 -2=6.25;②10 0.301 0=2;③3 2.095 9=10;④e x=23.14.
8. 已知loga3>logb3>0,则a、b、1的大小关系是.
【思路解析】 由对数函数的性质可知a>1,b>1,关键是判断a与b的大小,这可以利用对数函数的单调性来解决.
【解法一】 由loga3>logb3>0> >0
log3b>log3a>0
log3b>log3a>log31.
∵y=log3x是增函数,故b>a>1.
【解法二】
分别作出y=logax与y=logbx的图象,然后根据图象特征进行推断.
∵loga3>logb3>0,∴a>1,b>1.
故y=logax与y=logbx均为增函数.
又∵loga3>logb3>0,
∴当x>1时,y=logax的图象应在y=logbx图象的上方,如图所示.
根据对数函数的图象分布规律,可知b>a>1.
【答案】 b>a>1
9. 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4, log28.5;
(2)log0.31.8, log0.32.7;
(3)loga5.1, loga5.9(a>0,a≠1).
【解】 (1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4<log28.5.
(2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1<loga5.9;
当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是loga5.1>loga5.9.
10. 求函数y=log(-x2+4x+5)的定义域和值域.
【解】 函数有意义,必须-x2+4x+5>0x2-4x-5<0-1<x<5,
∴函数的定义域为{x|-1<x<5}.
由-1<x<5,∴在此区间内(-x2+4x+5) max=9.
∴0≤-x2+4x+5≤9.
从而log(-x2+4x+5)≥log9=-2,
即值域为{y|y≥-2}.
11. 已知函数f(x)=loga (a>1且b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性.
【思路解析】 本题考查定义域、单调性的求法及判断方法,注意要利用定义求解.
【解】 (1)由,解得x<-b或x>b.
∴函数f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞).
(2)由于f(-x)=loga()=loga()=loga()-1=-loga()=-f(x),所以f(x)为奇函数.
12. 求函数y=log(-x2+2x+3)的值域和单调区间.
【思路解析】 通过换元,令t=-x2+2x+3,是复合函数的问题.
【解】 设t=-x2+2x+3,则t=-(x-1)2+4.
∵y=logt为减函数,且0<t≤4,
∴y≥log4=-2,即函数的值域为［-2,+∞).
再由函数y=log(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1<x<3,
∴t=-x2+2x+3在(-1,1)上递增而在［1,3)上递减.
而y=logt为减函数.
∴函数y=log(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为［1,3).
13. 函数y=lg|x|( )
A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
【思路解析】 画出函数y=lg|x|的草图即见答案.在画函数y=lg|x|的草图时,注意应用函数y=lg|x|是个偶函数,其图象关于y轴对称.比如列表时,要先确定对称轴,然后在对称轴的两侧取值列表.
【答案】 B
14. (2005北京高考,文2)为了得到函数y=2 x-3-1的图象,只需把函数y=2x上所有点… ( )
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
【思路解析】 本题考查函数图象的平移问题,根据图象平移的方法口决“左加右减,上加下减”,极易求出答案.
【答案】 A
15. 已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1).
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
【思路解析】 f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R要求u=ax 2+2x+1取遍一切正数,使u能取遍一切正数的条件是a>0,Δ≥0.
【解】 (1)f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,
当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R;
当a≠0时,有 a>1.
∴a的取值范围为a>1.
(2)f(x)的值域为R,即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数a=0或0< a≤1.
∴a的取值范围为0≤a≤1.
16. 设函数f(x)=x 2-x+b,且f(log2a)=b,log2［f(a)］=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
【思路解析】 关键是利用已知的两个条件求出a、b的值.
【解】 由已知得log22a-log2a+b=b,log2(a2-a+b)=2,即
log2a(log2a-1)=0,a2-a+b=4,①②
由①得log2a=1,∴a=2.
代入②得b=2.∴f(x)=x 2-x+2.
∴f(log2x)=log22x-log2x+2=(log2x-) 2+.
∴当log2x=时,f(log2x)取得最小值,此时x=2.
17. 已知y=loga(2-ax)在区间［0,1］上是x的减函数,求a的取值范围.
【思路解析】 本题的关键是要注意到真数与底数中两个参量a是一样的,可知a>0且a≠1,然后根据复合函数的单调性即可解决.
【解】 先求函数定义域:
由2-ax>0,得ax<2,
又a是对数的底数,
∴a>0且a≠1.∴x<.
由递减区间［0,1］应在定义域内,
可得>1,∴a<2.
又2-ax在x∈［0,1］上是减函数,
∴y=loga(2-ax)在区间［0,1］上也是减函数.
由复合函数单调性可知a>1,
∴1<a<2.
18. 某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为.(lg2=0.301 0, lg11.49=
1.060 2)
【思路解析】 设产值平均年增长率为x,则(1+x) 10=4.
两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.
∴lg(1+x)= =0.0602
∴1+x=10 0.060 2.
又∵lg11.49=1.060 2,
∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.060 2.
∴10 0.060 2=1.149.
因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%.
【答案】 14.9%
19. 已知函数f(x)=2 x+1,则f -1(4)=__________.
【思路解析】 由反函数定义域和值域间的对应关系知,f -1(4)的值即为f(x)=2 x+1=4时,自变量x对应的值.
【答案】 1
20. 已知函数f(x)=a x+k的图象过点(1,3),其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),求f(x).
【思路解析】 根据函数f(x)=a x+k的图象过点(1,3),可列出一个关于a和k的方程,再根据其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),可知函数f(x)=a x+k的图象过点(0,2),这样就又可以列出一个关于a和k的方程.
【解】 依题意得a1+k=3,a0+k=2,
解得a=2,k=1.
∴f(x)=2x+1.
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