2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：2.2.1对数函数课堂导学案-.doc

2.2.1 对数函数
课堂导学
三点剖析
一、对数的概念
【例1】 将下列指数式写成对数式.
(1)2-2=;
(2)102=100;
(3)a0=1(a>0且a≠1);
(4)a1=a(a>0且a≠1);
(5)ea=16;
(6)=.
思路分析:指数式与对数式互化的依据是ab=NlogaN=b(a>0且a≠1).
解:(1)log2=-2;
(2)log10100=2,即lg100=2;
(3)loga1=0;
(4)logaa=1;
(5)loge16=a,即ln16=a;
(6)log64=-.
温馨提示
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段和重要思想方法.
二、对数的运算性质
【例2】 求值：（1）lg-lg+lg;
(2)lg8+log39+lg125+log3;
(3)［log2(log216)］(2log36-log34);
(4)()3-45×2-11.
解析:(1)解法一：原式=（5lg2-2lg7）-·lg2+（2lg7+lg5）
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5
=lg2+lg5=（lg2+lg5）
=lg10=.
解法二：原式=lg-lg4+lg7=lg=10·=lg=.
(2)原式=lg8+lg125+log39+log3
=lg(8×125)+log3(9×)
=lg1 000+log31=3+0=3.
(3)原式=(log24)(log336-log34)
=2log3=2log39
=4.
(4)原式=()3-210×2-11
=()3-2-1=-1-=-.
温馨提示
这类问题的处理方法一般有两种：
（1）将式中真数的积、商、幂运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；（2）将式中的对数的积、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂，然后化简求值.
【例3】 计算下列各式的值:
(1)(log43+log83)log32;
(2);
(3)2+log279.
思路分析:由于对数运算法则中的各公式都是同底的,因此凡作对数运算,若所给式不同底则一般先化成同底.
解:(1)原式=(+)log32
=(+)log32=+=.
(2)原式===-.
(3)原式=+
=+=2+=.
三、对数运算性质的应用
【例4】 已知log189=a,18b=5,求log3645.
思路分析:18b=5log185=b,将log3645如何化为以18为底的对数成为解决本题的关键.
解:解法一：∵18b=5,∴log185=b,
于是log3645=====.
解法二:由于log189=a,18b=5log185=b,
因此,log3645===.
解法三:由于log189=a,18b=5,因此,=a,blg18=lg5.
∴log3645==
===.
【例5】 若lg（x-y）+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，求的值.
解析：由已知等式得lg［（x-y）（x+2y）］=lg（2xy）
∴（x-y）（x+2y）=2xy，
即x2-xy-2y2=0，
∴（x-2y）（x+y）=0，
∴x-2y=0或x+y=0.
∴=2或=-1.
由题意x＞0，y＞0，
∴=-1（舍），
所求=2.
各个击破
类题演练1
已知lg3=α,lg4=β,求10α+β、10α-β、10-2α、.
解析：由条件得10α=3,10β=4，
则10α+β=10α·10β=12，10α-β=.
10-2α=（10α）-2=，==.
答案：12
变式提升1
设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z,
求证：-=.
证明：首先将指数式转化为对数式.
设3x=4y=6z=k，
∵x，y，z∈R+，
∴k＞1.
∴x=log3k=，y=log4k==，z=log6k=.
∴+=logk3+logk2=logk6=,
即-=.
类题演练2
计算下列各式的值:
(1)log3;
(2)4lg2+3lg5-lg+［log2(log4256)］.
解析：（1）原式=log327+log39-log3=3+-=.
（2）原式=4-4lg5+3lg5+lg5+［log24］=4+2=6.
答案：（1） （2）6
变式提升2
求值：（1）log535-2log5+log57-log51.8;
（2）（log43+log83）（log32+log92）-;
（3）lg25+lg2lg5+lg2;
（4）.
解析：（1）原式=log5（5×7）-2（log57-log53）+log57-log5
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
（2）原式=（log23+log23）（log32+log32）+log2
=×log23log32+=+=.
（3）原式=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1.
（4）原式===1.
答案：（1）2 （2） （3）1 （4）1
类题演练3
(1)(log43+log83)(log32+log92);
(2)log23·log34·log45·log52.
解析：（1）原式=;（2）原式=1.
答案：（1） （2）1
变式提升3
计算下列各式的值：
（1）（lg5）2+2lg2-（lg2）2;
（2）（log23+log49+log827+…+log2n3n）×log9.
解析：（1）原式=（lg5+lg2）（lg5-lg2）+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg10=1.
（2）原式=
（log23+log2232+…+log2n3n）×log9
=（log23+++…+）×log9
=×log932=×=.
类题演练4
已知lg2=0.301 0,lg7=0.845 1.求lg35.
解析：lg35=lg5×7=lg5+lg7=1-lg2+lg7=1.544 1.
答案：1.544 1
变式提升4
已知log53=a,log54=b,
求证:log2512=(a+b).
证明：证法一：log2512=log253+log254=+=（a+b）.
证法二：(a+b)=(log53+log54)=log512=log5==2 log25=log2512.
类题演练5
已知log23=a，log37=b，则log4256=________________________________.
答案：
变式提升5
已知lg（x+y）+lg（2x+3y）-lg3=lg4+lgx+lgy.求x∶y的值.
解析：原式化为lg=lg（4xy）
=4xy2x2-7xy+3y2=02x=y或x=3y，
∴=或=3.