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3.1 函数与方程
课堂探究
探究一求函数的零点
因为函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，通过解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【典型例题1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16；
(4)f(x)＝.
思路分析：可通过解方程f(x)＝0求得函数的零点．
解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，
解得x＝－或x＝1.
所以函数的零点为x＝－和x＝1.
(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝.
所以函数的零点为x＝.
(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2.
所以函数的零点为x＝2.
(4)因为f(x)＝＝，
令＝0，
解得x＝－6.
所以函数的零点为x＝－6.
探究二 判断函数零点的个数
判断函数y＝f(x)零点的个数的方法主要有：
(1)解方程f(x)＝0，方程实根的个数就是函数零点个数；
(2)当方程f(x)＝0不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；
(3)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两图象交点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．
【典型例题2】 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，
f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
方法二：在同一平面直角坐标系下作出图象如下：
h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．
由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
方法总结用零点存在定理判断函数y＝f(x)在(a，b)内零点唯一，可按以下步骤进行：
(1)判断f(a)f(b)＜0；
(2)判断函数y＝f(x)在(a，b)上单调．
探究三判断函数的零点所在的大致区间
如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．如函数y＝x2的零点就是不变号零点．
函数零点存在定理可判断变号零点所在区间．
【典型例题3】 方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间．
令f(x)＝log3x＋x－3，
则f(1)＝log31＋1－3＝－2＜0，f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，f(4)＝log34＋4－3＝log312＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
答案：C
探究四 易错辨析
易错点 忽视零点存在性定理的使用条件致误
【典型例题4】 函数f(x)＝x＋的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
错解：因为f(－1)＝－2＜0，f(1)＝2＞0，
所以函数f(x)有1个零点，故选B.
错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域．通过作图(图略)，可知函数f(x)＝x＋的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间内使用．
正解：函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)＝0无实根．
当x＜0时，f(x)＜0，∴f(x)＝0无实根．
综上，函数f(x)没有零点．
答案：A
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