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1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一 求分段函数的值
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．若题目含有多层“f”，应按“由内到外”的顺序层层处理．
2．如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想．
3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
【典型例题1】 已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝2，求x的值．
思路分析：(1)由内到外，先求f，再求f，最后求f；
(2)分别令x＋2＝2，x2＝2，x＝2，分段验证求x.
解：(1)f＝＋2＝，
∴f＝f＝2＝，
∴f＝f＝×＝.
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±，其中x＝符合0≤x<2.
当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是或4.
探究二 分段函数的图象
1．分段函数的解析式的特点是可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
【典型例题2】 画出下列函数的图象，并写出它们的值域：
(1)y＝
(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
思路分析：先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．
解：(1)函数y＝的图象如图①，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图象如图②.观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．
探究三 映射的判断
判断是否为映射的几大要点：
(1)集合A，B的元素是任意的，没有任何限制；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而且这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射是特殊的对应，即“多对一”或“一对一”的对应，而对应不一定是映射，其中“一对多”的对应不是映射．
【典型例题3】 下列对应是A到B的映射的有( )
①A＝R，B＝R，f：x→y＝；
②A＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重}，f：每个火炬手对应自己的体重；
③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝±.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①中，对于A中元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中元素4，在B中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．
答案：B
探究四 易错辨析
易错点 错误理解分段函数
【典型例题4】 已知函数f(x)＝若f(x)＝3，求x的值．
错解：由x2－1＝3，得x＝±2；由2x＋1＝3，得x＝1.
故x的值为2，－2或1.
错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数．求值时不能忽视x的取值范围，因此错解中x＝－2和x＝1都应舍去．
正解：当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2，或x＝－2(舍去)；
当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)．
故x的值为2.
反思分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则．
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