1、1.2 函数及其表示课堂探究探究一 求分段函数的值1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得若题目含有多层“f”，应按“由内到外”的顺序层层处理2如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想3已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解【典型例题1】 已知函数f(x)(1)求f的值；(2)若f(x)2，求x的值思路分析：(1)由内到外，先求f，再求f，最后求f；(2)分别令x22，x22，x2，分段验证求x.解：(1)f2，ff2，ff.(2
2、)当f(x)x22时，x0，不符合x0.当f(x)x22时，x，其中x符合0x2.当f(x)x2时，x4，符合x2.综上，x的值是或4.探究二 分段函数的图象1分段函数的解析式的特点是可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”2对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象【典型例题2】 画出下列函数的图象，并写出它们的值域：(1)y(2)y|x1|x3|.思路分析：先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要
3、注意对应关系与自变量范围的对应解：(1)函数y的图象如图，观察图象，得函数的值域为(1，)(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y它的图象如图.观察图象，得函数的值域为4，)探究三 映射的判断判断是否为映射的几大要点：(1)集合A，B的元素是任意的，没有任何限制；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而且这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射是特殊的对应，
4、即“多对一”或“一对一”的对应，而对应不一定是映射，其中“一对多”的对应不是映射【典型例题3】 下列对应是A到B的映射的有()AR，BR，f：xy；A2016年里约热内卢奥运会的火炬手，B2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重，f：每个火炬手对应自己的体重；A非负实数，BR，f：xy.A0个 B1个 C2个 D3个解析：中，对于A中元素1，在B中没有与之对应的元素，则不是映射；中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则是映射；中，对于A中元素4，在B中有两个元素2和2与之对应，则不是映射答案：B探究四 易错辨析易错点错误理解分段函数【典型例题4】 已知函数f(x)若f(x)3，求x的值错解：由x213，得x2；由2x13，得x1.故x的值为2，2或1.错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数求值时不能忽视x的取值范围，因此错解中x2和x1都应舍去正解：当x0时，由x213，得x2，或x2(舍去)；当x0时，由2x13，得x1(舍去)故x的值为2.反思分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则
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