1、3.1.1 函数与方程课堂导学三点剖析一、函数的零点概念及求法【例1】 求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y0，y0时，x的取值范围.解析：解二次方程-x2-2x+3=0得， x1=-3,x2=1， 函数y=-x2-2x+3的零点为-3，1. y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3x1时，y0.当x-3或x1时，y0. 函数y=-x2-2x+3的零点是-3，1. y0时，x的取值范围是（-3，1）；y0时,x的取值范围是（-，-3）(1,+).温馨提示 函数的零点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2+bx+c0(0)的
2、解集.二、函数零点的应用【例2】 已知函数f(x)=x3-8x+1在区间2,3内的一部分函数值如下表所示.根据此表及图象,你能探究出方程x3-8x+1=0的一个实根所在的区间吗?(精确到0.1)x22.12.22.32.42.5f(x)-7-6.539-5.952-5.233-4.376-3.375x2.62.72.82.93f(x)-2.224-0.9170.5522.1894解析:观察表格并利用描点法作出f(x)的大体图象,发现当自变量x由2变到3时,其函数值由-7逐渐接近于0,再变为正值,在此变化过程中,由于y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点x0使得f(x)=0,即x
3、03-8x0+1=0,此x0所在的区间为2.7,2.8.温馨提示 判断零点所在的区间方法有两个： 1.f(a)f(b)0，且图象在a,b上连续不断. 2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表描点连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.【例3】 已知函数y=f(x)在区间a,b上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是_.若f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点 若f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点 若
4、f(x)在(a,b)内有零点,必有f(a)f(b)0若f(a)f(b)0,则函数f(x)在(a,b)内有零点 若f(a)f(b)0,则函数f(x)在(a,b)内有零点解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.有条件f(a)f(b)0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;是在f(a)f(b)0的情况下,未必无零点;在(a,b)内有零点,也未必有f(a)f(b)0成立;注意端点问题,可能a、b恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性很有帮助.答案:温馨提示 对于一个定理和结论的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.条件具备,则结论正确;条件
5、不具备,则结论未必不成立;结论成立,而条件未必成立.注意思维的严密性.各个击破类题演练1求y=x2+2x+1的零点，并指出y0的取值范围.解析：令x2+2x+1=0，x=-1. y=x2+2x+1的零点为-1. y0的取值范围为x-1.变式提升1（1）若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a、b的值.解析：由条件得 （2）求函数y=x3-7x+6的零点.解析：x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6) =x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)， 解x3-7x+6=0， 即(x-1)(x-2)(x
6、+3)=0，x1=-3,x2=1,x3=2. 函数y=x3-7x+6的零点为-3，1，2.类题演练2函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2，判断函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的大致区间.思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，即x2+ax+b=0的根，由根与系数的关系可求得a、b的值,从而可求解.解:-1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点,-1+2=-a,-12=b,即a=-1,b=-2. g(x)=-x3-2x+4. g(1)=1,g(2)=-8,g(1)5g(2)0,g(x)在区间(1,2)内有一个零点. 又g(x)在R上是单增函数，g(x)只有一个零点.变式提升2利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=-x3-2x+1;(2)f(x)=e1+x+2x+2.解析：（1）用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（如下表）及其图象（如图1）.x-3-2-10123f(x)341341-2-11-32
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