资源描述
3.1.1 函数与方程
课堂导学
三点剖析
一、函数的零点概念及求法
【例1】 求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y＞0，y＜0时，x的取值范围.
解析：解二次方程-x2-2x+3=0得，
x1=-3,x2=1，
∴函数y=-x2-2x+3的零点为-3，1.
y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3＜x＜1时，y＞0.当x＜-3或x＞1时，y＜0.
∴函数y=-x2-2x+3的零点是-3，1.
y＞0时，x的取值范围是（-3，1）；y＜0时,x的取值范围是（-∞，-3）∪(1,+∞).
温馨提示
函数的零点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0(＜0)的解集.
二、函数零点的应用
【例2】 已知函数f(x)=x3-8x+1在区间［2,3］内的一部分函数值如下表所示.根据此表及图象,你能探究出方程x3-8x+1=0的一个实根所在的区间吗?(精确到0.1)
x
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
f(x)
-7
-6.539
-5.952
-5.233
-4.376
-3.375
x
2.6
2.7
2.8
2.9
3
…
f(x)
-2.224
-0.917
0.552
2.189
4
…
解析:观察表格并利用描点法作出f(x)的大体图象,发现当自变量x由2变到3时,其函数值由-7逐渐接近于0,再变为正值,在此变化过程中,由于y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点x0使得f(x)=0,即x03-8x0+1=0,此x0所在的区间为［2.7,2.8］.
温馨提示
判断零点所在的区间方法有两个：
1.f(a)·f(b)＜0，且图象在［a,b］上连续不断.
2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表→描点→连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.
【例3】 已知函数y=f(x)在区间［a,b］上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是______.
①若f(a)·f(b)＜0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点 ②若f(a)·f(b)＞0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点 ③若f(x)在(a,b)内有零点,必有f(a)·f(b)＜0④若f(a)·f(b)≤0,则函数f(x)在(a,b)内有零点 ⑤若f(a)·f(b)＜0,则函数f(x)在(a,b)内有零点
解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.①有条件f(a)·f(b)＜0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;②是在f(a)·f(b)＞0的情况下,未必无零点;③在(a,b)内有零点,也未必有f(a)·f(b)＜0成立;④注意端点问题,可能a、b恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性很有帮助.
答案:⑤
温馨提示
对于一个定理和结论的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.条件具备,则结论正确;条件不具备,则结论未必不成立;结论成立,而条件未必成立.注意思维的严密性.
各个击破
类题演练1
求y=x2+2x+1的零点，并指出y＞0的取值范围.
解析：令x2+2x+1=0，∴x=-1.
∴y=x2+2x+1的零点为-1.
y＞0的取值范围为x≠-1.
变式提升1
（1）若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a、b的值.
解析：由条件得 ∴
（2）求函数y=x3-7x+6的零点.
解析：∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)
=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)，
解x3-7x+6=0，
即(x-1)(x-2)(x+3)=0，x1=-3,x2=1,x3=2.
∴函数y=x3-7x+6的零点为-3，1，2.
类题演练2
函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2，判断函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的大致区间.
思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，即x2+ax+b=0的根，由根与系数的关系可求得a、b的值,从而可求解.
解:∵-1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点,∴-1+2=-a,-1×2=b,即a=-1,b=-2.
∴g(x)=-x3-2x+4.
∵g(1)=1,g(2)=-8,g(1)\5g(2)<0,∴g(x)在区间(1,2)内有一个零点.
又∵g(x)在R上是单增函数，∴g(x)只有一个零点.
变式提升2
利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=-x3-2x+1;(2)f(x)=e1+x+2x+2.
解析：（1）用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（如下表）及其图象（如图1）.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
34
13
4
1
-2
-11
-32
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