2022年广东省茂名市中考数学试卷解析.docx

2022年广东省茂名市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分，每题给出的四个答案，其中只有一个是正确的〕
1．〔3分〕〔2022•茂名〕|﹣3|等于〔　　〕

A．
3
B．
﹣3
C．

D．
﹣
2．〔3分〕〔2022•茂名〕如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建〞字所在面相对的面的字是〔　　〕

A．
创
B．
教
C．
强
D．
市
3．〔3分〕〔2022•茂名〕以下各式计算正确的选项是〔　　〕

A．
5a+3a=8a2
B．
〔a﹣b〕2=a2﹣b2
C．
a3•a7=a10
D．
〔a3〕2=a7
4．〔3分〕〔2022•茂名〕如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，那么∠D的度数是〔　　〕

A．
110°
B．
90°
C．
70°
D．
50°
5．〔3分〕〔2022•茂名〕在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕

A．
等腰三角形
B．
平行四边形
C．
直角梯形
D．
圆
6．〔3分〕〔2022•茂名〕以下说法正确的选项是〔　　〕

A．
面积相等的两个三角形全等

B．
矩形的四条边一定相等

C．
一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等

D．
随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上
7．〔3分〕〔2022•茂名〕为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表：
捐款的数额〔单位：元〕
20
50
80
100
人数〔单位：名〕
6
7
4
3
对于这20名同学的捐款，众数是〔　　〕

A．
20元
B．
50元
C．
80元
D．
100元
8．〔3分〕〔2022•茂名〕如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，那么点P到边OB的距离为〔　　〕

A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
9．〔3分〕〔2022•茂名〕在平面直角坐标系中，以下函数的图象经过原点的是〔　　〕

A．
y=
B．
y=﹣2x﹣3
C．
y=2x2+1
D．
y=5x
10．〔3分〕〔2022•茂名〕张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件假设设张三每小时经过这种零件x个，那么下面列出的方程正确的选项是〔　　〕

A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕
11．〔3分〕〔2022•茂名〕﹣8的立方根是．
12．〔3分〕〔2022•茂名〕一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是边形．
13．〔3分〕〔2022•茂名〕不等式x﹣4＜0的解集是．
14．〔3分〕〔2022•茂名〕如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合．假设AB=3，那么C′D的长为．
15．〔3分〕〔2022•茂名〕为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，那么3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52022的值是．
三、用心做一做〔本大题共3小题，每题7分，共21分〕
16．〔7分〕〔2022•茂名〕计算：〔﹣〕﹣1﹣|﹣4|++〔sin30°〕0．
17．〔7分〕〔2022•茂名〕设y=ax，假设代数式〔x+y〕〔x﹣2y〕+3y〔x+y〕化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．
18．〔7分〕〔2022•茂名〕补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
〔1〕三角形中位线定理：三角形的中位线；
〔2〕：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC．
四、沉着冷静，缜密思考〔本大题共2小题，每题7分，共14分〕
19．〔7分〕〔2022•茂名〕某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查〔每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项〕，对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图：
〔1〕此次调查抽取的学生人数m=名，其中选择“书法〞的学生占抽样人数的百分比n=；
〔2〕假设该校有3000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法〞最感兴趣的学生人数．
20．〔7分〕〔2022•茂名〕在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
〔1〕将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
〔2〕现在再将假设干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
五、满怀信心，再接再厉〔本大题共3小题，每题8分，共24分〕
21．〔8分〕〔2022•茂名〕如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
〔1〕求新铺设的输电线路AB的长度；〔结果保存根号〕
〔2〕问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米〔结果保存根号〕
22．〔8分〕〔2022•茂名〕在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点〞，例如点〔﹣2，﹣4〕，〔1，2〕，〔3，6〕…都是“理想点〞，显然这样的“理想点〞有有无数多个．
〔1〕假设点M〔2，a〕是反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕图象上的“理想点〞，求这个反比例函数的表达式；
〔2〕函数y=3mx﹣1〔m为常数，m≠0〕的图象上存在“理想点〞吗假设存在，请求出“理想点〞的坐标；假设不存在，请说明理由．
23．〔8分〕〔2022•茂名〕某公司生产的某种产品每件本钱为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量〔m件〕与时间〔第x天〕满足一次函数关系，局部数据如下表：
时间〔第x天〕
1
3
6
10
…
日销售量〔m件〕
198
194
188
180
…
②该产品90天内每天的销售价格与时间〔第x天〕的关系如下表：
时间〔第x天〕
1≤x＜50
50≤x≤90
销售价格〔元/件〕
x+60
100
〔1〕求m关于x的一次函数表达式；
〔2〕设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大最大利润是多少【提示：每天销售利润=日销售量×〔每件销售价格﹣每件本钱〕】
〔3〕在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
六、灵动管理，超越自我〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕
24．〔8分〕〔2022•茂名〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒〔0＜t＜〕，连接MN．
〔1〕假设△BMN与△ABC相似，求t的值；
〔2〕连接AN，CM，假设AN⊥CM，求t的值．
25．〔8分〕〔2022•茂名〕如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C〔﹣2，0〕，D〔﹣8，0〕两点，与y轴相切于点B〔0，4〕．
〔1〕求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
〔2〕设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
〔3〕在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少并求出点F的坐标．
2022年广东省茂名市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分，每题给出的四个答案，其中只有一个是正确的〕
1．〔3分〕〔2022•茂名〕|﹣3|等于〔　　〕

A．
3
B．
﹣3
C．

D．
﹣
考点：
绝对值．菁优网版权所有
分析：
绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0．
解答：
解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣3|=﹣〔﹣3〕=3．应选A．
点评：
此题考查了绝对值的意义．
2．〔3分〕〔2022•茂名〕如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建〞字所在面相对的面的字是〔　　〕

A．
创
B．
教
C．
强
D．
市
考点：
专题：正方体相对两个面上的文字．菁优网版权所有
分析：
正方体的外表展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解答：
解：∵正方体的外表展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“建〞与“强〞是相对面．
应选C．
点评：
此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．〔3分〕〔2022•茂名〕以下各式计算正确的选项是〔　　〕

A．
5a+3a=8a2
B．
〔a﹣b〕2=a2﹣b2
C．
a3•a7=a10
D．
〔a3〕2=a7
考点：
幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有
分析：
利用幂的运算性质、合并同类项及完全平方公式进行计算后即可确定正确的选项．
解答：
解：A、5a+3a=8a，故错误；
B、〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2，故错误；
C、a3•a7=a10，正确；
D、〔a3〕2=a6，故错误．
应选C．
点评：
此题考查了幂的运算性质、合并同类项及完全平方公式，解题的关键是能够了解有关幂的运算性质，难度不大．
4．〔3分〕〔2022•茂名〕如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，那么∠D的度数是〔　　〕

A．
110°
B．
90°
C．
70°
D．
50°
考点：
圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
分析：
先根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠B=180°，即可解答．
解答：
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠D=180°﹣70°=110°，
应选：A．
点评：
此题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
5．〔3分〕〔2022•茂名〕在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕

A．
等腰三角形
B．
平行四边形
C．
直角梯形
D．
圆
考点：
中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用轴对称图形与中心对称图形的性质判断即可．
解答：
解：在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是圆．
应选D．
点评：
此题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握各自的定义是解此题的关键．
6．〔3分〕〔2022•茂名〕以下说法正确的选项是〔　　〕

A．
面积相等的两个三角形全等

B．
矩形的四条边一定相等

C．
一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等

D．
随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上
考点：
命题与定理．菁优网版权所有
分析：
直接根据全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识对各个选项进行判断即可．
解答：
解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，此选项错误；
B、矩形的对边相等，此选项错误；
C、一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等，此选项正确；
D、随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后不一定是正面朝上，此选项错误；
应选C．
点评：
此题主要考查了命题与定理的知识，解答此题的关键是掌握全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识，此题难度不大．
7．〔3分〕〔2022•茂名〕为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表：
捐款的数额〔单位：元〕
20
50
80
100
人数〔单位：名〕
6
7
4
3
对于这20名同学的捐款，众数是〔　　〕

A．
20元
B．
50元
C．
80元
D．
100元
考点：
众数．菁优网版权所有
分析：
众数指一组数据中出现次数最多的数据，结合题意即可得出答案．
解答：
解：由题意得，所给数据中，50元出现了7次，次数最多，
即这组数据的众数为50元．
应选B．
点评：
此题考查了众数的定义及求法，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，假设几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
8．〔3分〕〔2022•茂名〕如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，那么点P到边OB的距离为〔　　〕

A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
考点：
角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．
解答：
解：如图，

过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P到OB的距离是6．
应选：A．
点评：
此题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是根底题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
9．〔3分〕〔2022•茂名〕在平面直角坐标系中，以下函数的图象经过原点的是〔　　〕

A．
y=
B．
y=﹣2x﹣3
C．
y=2x2+1
D．
y=5x
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
将〔0，0〕代入各选项进行判断即可．
解答：
解：A、当x=0时，y=无意义，不经过原点，故本选项错误；
B、当x=0时，y=3，不经过原点，故本选项错误；
C、当x=0时，y=1，不经过原点，故本选项错误；
D、当x=0时，y=0，经过原点，故本选项正确．
应选：D．
点评：
此题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般
10．〔3分〕〔2022•茂名〕张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件假设设张三每小时经过这种零件x个，那么下面列出的方程正确的选项是〔　　〕

A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
考点：
由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
分析：
根据每小时张三比李四多加工5个零件和张三每小时加工这种零件x个，可知李四每小时加工这种零件的个数，根据张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，列出方程即可．
解答：
解：设张三每小时加工这种零件x个，那么李四每小时加工这种零件〔x﹣5〕个，
由题意得，=，
应选B．
点评：
此题考查的是列分式方程解应用题，根据题意准确找出等量关系是解题的关键．
二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕
11．〔3分〕〔2022•茂名〕﹣8的立方根是　﹣2　．
考点：
立方根．菁优网版权所有
分析：
利用立方根的定义即可求解．
解答：
解：∵〔﹣2〕3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：
此题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a〔x3=a〕，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a〞其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．
12．〔3分〕〔2022•茂名〕一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是　六　边形．
考点：
多边形内角与外角．菁优网版权所有
分析：
n边形的内角和可以表示成〔n﹣2〕•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解答：
解：这个正多边形的边数是n，那么
〔n﹣2〕•180°=720°，
解得：n=6．
那么这个正多边形的边数是六，
故答案为：六．
点评：
考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
13．〔3分〕〔2022•茂名〕不等式x﹣4＜0的解集是　x＜4　．
考点：
解一元一次不等式；不等式的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据不等式的性质移项后即可得到答案．
解答：
解：x﹣4＜0，
移项得：x＜4．
故答案为：x＜4．
点评：
此题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解一元一次不等式是解此题的关键．
14．〔3分〕〔2022•茂名〕如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合．假设AB=3，那么C′D的长为　3　．
考点：
翻折变换〔折叠问题〕．菁优网版权所有
分析：
根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即可得解．
解答：
解：在矩形ABCD中，CD=AB，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，
∴C′D=CD，
∴C′D=AB，
∵AB=3，
∴C′D=3．
故答案为3．
点评：
此题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是根底题，熟记性质是解题的关键．
15．〔3分〕〔2022•茂名〕为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，那么3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52022的值是．
考点：
有理数的乘方．菁优网版权所有
分析：
根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52022，求出5M，然后相减计算即可得解．
解答：
解：设M=1+5+52+53+…+52022，
那么5M=5+52+53+54…+52022，
两式相减得：4M=52022﹣1，
那么M=．
故答案为．
点评：
此题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
三、用心做一做〔本大题共3小题，每题7分，共21分〕
16．〔7分〕〔2022•茂名〕计算：〔﹣〕﹣1﹣|﹣4|++〔sin30°〕0．
考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
分析：
此题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．
解答：
解：〔﹣〕﹣1﹣|﹣4|++〔sin30°〕0
=﹣3﹣4+5+1
=﹣1．
点评：
此题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
17．〔7分〕〔2022•茂名〕设y=ax，假设代数式〔x+y〕〔x﹣2y〕+3y〔x+y〕化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．
考点：
整式的混合运算；平方根．菁优网版权所有
分析：
先利用因式分解得到原式〔x+y〕〔x﹣2y〕+3y〔x+y〕=〔x+y〕2，再把当y=ax代入得到原式=〔a+1〕2x2，所以当〔a+1〕2=1满足条件，然后解关于a的方程即可．
解答：
解：原式=〔x+y〕〔x﹣2y〕+3y〔x+y〕=〔x+y〕2，
当y=ax，代入原式得〔1+a〕2x2=x2，
即〔1+a〕2=1，
解得：a=﹣2或0．
点评：
此题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
18．〔7分〕〔2022•茂名〕补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
〔1〕三角形中位线定理：三角形的中位线　平行于第三边，且等于第三边的一半　；
〔2〕：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC．
考点：
三角形中位线定理．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据三角形的中位线定理填写即可；
〔2〕延长DE到F，使FE=DE，连接CF，利用“边角边〞证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后求出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
解答：
〔1〕解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
故答案为：平行于第三边，且等于第三边的一半；

〔2〕证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE〔SAS〕，
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥BC，DE=BC．

点评：
此题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和平行四边形．
四、沉着冷静，缜密思考〔本大题共2小题，每题7分，共14分〕
19．〔7分〕〔2022•茂名〕某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查〔每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项〕，对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图：
〔1〕此次调查抽取的学生人数m=　150　名，其中选择“书法〞的学生占抽样人数的百分比n=　30%　；
〔2〕假设该校有3000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法〞最感兴趣的学生人数．
考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：
〔1〕利用扇形统计图和条形统计图得出参与演讲的人数和所占百分比，进而求出总人数，再求出参加书法的人数，进而求出占抽样人数的百分比；
〔2〕利用〔1〕中所求得出该校对“书法〞最感兴趣的学生人数．
解答：
解：〔1〕由题意可得：此次调查抽取的学生人数m=30÷20%=150，
选择“书法〞的学生占抽样人数的百分比n=〔150﹣30﹣60﹣15〕÷150×100%=30%；
故答案为：150，30%；

〔2〕由〔1〕得：3000×30%=900〔名〕，
答：该校对“书法〞最感兴趣的学生人数为900名．
点评：
此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，根据图形得出正确信息是解题关键．
20．〔7分〕〔2022•茂名〕在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
〔1〕将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
〔2〕现在再将假设干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
考点：
概率公式．菁优网版权所有
分析：
〔1〕用黄球的个数除以所有球的个数即可求得概率；
〔2〕根据概率公式列出方程求得红球的个数即可．
解答：
解：〔1〕∵共10个球，有2个黄球，
∴P〔黄球〕==；

〔2〕设有x个红球，根据题意得：=，
解得：x=5．
故后来放入袋中的红球有5个．
点评：
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
五、满怀信心，再接再厉〔本大题共3小题，每题8分，共24分〕
21．〔8分〕〔2022•茂名〕如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
〔1〕求新铺设的输电线路AB的长度；〔结果保存根号〕
〔2〕问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米〔结果保存根号〕
考点：
解直角三角形的应用．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
〔1〕过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；
〔2〕在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．
解答：
解：〔1〕过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×=10〔千米〕，AD=AC•cos∠CAD=20×=10〔千米〕，
在Rt△BCD中，BD===10〔千米〕，
∴AB=AD+DB=10+10=10〔+1〕〔千米〕，
那么新铺设的输电线路AB的长度10〔+1〕〔千米〕；
〔2〕在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10〔千米〕，
∴AC+CB﹣AB=20+10﹣〔10+10〕=10〔1+﹣〕〔千米〕，
那么整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10〔1+﹣〕千米．

点评：
此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
22．〔8分〕〔2022•茂名〕在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点〞，例如点〔﹣2，﹣4〕，〔1，2〕，〔3，6〕…都是“理想点〞，显然这样的“理想点〞有有无数多个．
〔1〕假设点M〔2，a〕是反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕图象上的“理想点〞，求这个反比例函数的表达式；
〔2〕函数y=3mx﹣1〔m为常数，m≠0〕的图象上存在“理想点〞吗假设存在，请求出“理想点〞的坐标；假设不存在，请说明理由．
考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
〔1〕根据“理想点〞，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；
〔2〕假设函数y=3mx﹣1〔m为常数，m≠0〕的图象上存在“理想点〞〔x，2x〕，那么有3mx﹣1=2x，整理得：〔3m﹣2〕x=1，分两种情况讨论：当3m﹣2≠0，即m≠时，解得：x=，当3m﹣2=0，即m=时，x无解，即可解答．
解答：
解：∵点M〔2，a〕是反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕图象上的“理想点〞，
∴a=4，
∵点M〔2，4〕在反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为．
〔2〕假设函数y=3mx﹣1〔m为常数，m≠0〕的图象上存在“理想点〞〔x，2x〕，
那么有3mx﹣1=2x，
整理得：〔3m﹣2〕x=1，
当3m﹣2≠0，即m≠时，解得：x=，
当3m﹣2=0，即m=时，x无解，
综上所述，当m≠时，函数图象上存在“理想点〞，为〔〕；
当m=时，函数图象上不存在“理想点〞．
点评：
此题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，解决此题的关键是理解“理想点〞的定义，确定点的坐标．
23．〔8分〕〔2022•茂名〕某公司生产的某种产品每件本钱为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量〔m件〕与时间〔第x天〕满足一次函数关系，局部数据如下表：
时间〔第x天〕
1
3
6
10
…
日销售量〔m件〕
198
194
188
180
…
②该产品90天内每天的销售价格与时间〔第x天〕的关系如下表：
时间〔第x天〕
1≤x＜50
50≤x≤90
销售价格〔元/件〕
x+60
100
〔1〕求m关于x的一次函数表达式；
〔2〕设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大最大利润是多少【提示：每天销售利润=日销售量×〔每件销售价格﹣每件本钱〕】
〔3〕在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
考点：
二次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据待定系数法解出一次函数解析式即可；
〔2〕设利润为y元，那么当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；
〔3〕直接写出在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
解答：
解：〔1〕∵m与x成一次函数，
∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：
，
解得：．
所以m关于x的一次函数表达式为m=﹣2x+200；
〔2〕设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：，
当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000=﹣2〔x﹣40〕2+7200，
∵﹣2＜0，
∴当x=40时，y有最大值，最大值是7200；
当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，
∵﹣120＜0，
∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000；
综上所述，当x=40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；
〔3〕在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
点评：
此题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．
六、灵动管理，超越自我〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕
24．〔8分〕〔2022•茂名〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒〔0＜t＜〕，连接MN．
〔1〕假设△BMN与△ABC相似，求t的值；
〔2〕连接AN，CM，假设AN⊥CM，求t的值．
考点：
相似三角形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
动点型．
分析：
〔1〕根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当△BMN∽△BCA时，，解得t，综上所述，△BMN与△ABC相似，得t的值；
〔2〕过点M作MD⊥CB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得，解得t．
解答：
解：〔1〕由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，
∴BN=〔8﹣2t〕cm，BA==10〔cm〕，
当△BMN∽△BAC时，，
∴，解得：t=；
当△BMN∽△BCA时，，
∴，解得：t=，
∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；

〔2〕过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：
DM=BMsinB=3t=〔cm〕，BD=BMcosB=3t=t〔cm〕，
BM=3tcm，CN=2tcm，
∴CD=〔8﹣〕cm，
∵AN⊥CM，∠ACB=90°，
∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，
∴∠CAN=∠MCD，
∵MD⊥CB，
∴∠MDC=∠ACB=90°，
∴△CAN∽△DCM，
∴，
∴=，解得t=．

点评：
此题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
25．〔8分〕〔2022•茂名〕如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C〔﹣2，0〕，D〔﹣8，0〕两点，与y轴相切于点B〔0，4〕．
〔1〕求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
〔2〕设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
〔3〕在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少并求出点F的坐标．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕把B〔0，4〕，C〔﹣2，0〕，D〔﹣8，0〕代入二次函数的解析式即可得到结果；
〔2〕由y=x2+x+4=〔x+5〕2﹣，得到顶点坐标E〔﹣5，﹣〕，求得直线CE的函数解析式y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，得到G〔0，〕，如图1，连接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4﹣=，CG=，得到BG=CG，AB=AC，证得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A与y轴相切于点B〔0，4〕，于是得到∠ABG=90°，即可求得结论；
〔3〕如图2，连接BD，BF，DF，设F〔t，t2+t+4〕，过F作FN∥y轴交BD于点N，求得直线BD的解析式为y=x+4，得到点N的坐标为〔t，t+4〕，于是得到FN=t+4﹣〔t2+t+4〕=﹣t2﹣2t，推出S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD•FN=〔﹣t2﹣2t〕=﹣t2﹣8t=﹣〔t+4〕2+16，即可得到结论．
解答：
解：〔1〕设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
把B〔0，4〕，C〔﹣2，0〕，D〔﹣8，0〕代入得：，
解得．
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+x+4；

〔2〕∵y=x2+x+4=〔x+5〕2﹣，
∴E〔﹣5，﹣〕，
设直线CE的函数解析式为y=mx+n，
直线CE与y轴交于点G，那么，
解得．
∴y=x+，
在y=x+中，令x=0，y=，
∴G〔0，〕，
如图1，连接AB，AC，AG，
那么BG=OB﹣OG=4﹣=，
CG===，
∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG与△ACG中，
，
∴△ABG≌△ACG，
∴∠ACG=∠ABG，
∵⊙A与y轴相切于点B〔0，4〕，
∴∠ABG=90°，
∴∠ACG=∠ABG=90°
∵点C在⊙A上，
∴直线CE与⊙A相切；

〔3〕存在点F，使△BDF面积最大，
如图2连接BD，BF，DF，设F〔t，t2+t+4〕，
过F作FN∥y轴交BD于点N，
设直线BD的解析式为y=kx+d，那么，
解得．
∴直线BD的解析式为y=x+4，
∴点N的坐标为〔t，t+4〕，
∴FN=t+4﹣〔t2+t+4〕=﹣t2﹣2t，
∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD•FN=〔﹣t2﹣2t〕=﹣t2﹣8t=﹣〔t+4〕2+16，
∴当t=﹣4时，S△BDF最大，最大值是16，
当t=﹣4时，t2+t+4=﹣2，
∴F〔﹣4，﹣2〕．

点评：
此题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：kuaile；lf2-9；ZJX；sjzx；sdwdmahongye；sks；733599；HJJ；73zzx；1286697702；xiu；蓝月梦；zjx111；yangwy；HLing；星期八；sd2022；1987483819；fangcao；王学峰〔排名不分先后〕
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2022年7月21日