浙大概率论与数理统计随机变量及其分布.pptx

在前面的学习中在前面的学习中,我们用字母我们用字母A A、B B、C.C.表示事件，并视之为样本空间表示事件，并视之为样本空间S S的子的子集；针对等可能概型，主要研究了用排集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。列组合手段计算事件的概率。本章，将引入随机变量表示随机事件，本章，将引入随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。机现象。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布Random Variable and Distribution第一节第一节 随机变量随机变量第二节第二节 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布小结小结主要内容第一节第一节 随机变量的概念随机变量的概念随机变量概念的引入随机变量概念的引入引入随机变量的意义引入随机变量的意义随机变量的分类随机变量的分类 (1)、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；9月份南宁的最高温度；月份南宁的最高温度；每天进入四号教学楼的人数；每天进入四号教学楼的人数；一、随机变量概念的引入一、随机变量概念的引入(2)(2)、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也也就是说，就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.例如例如:掷硬币试验掷硬币试验,考察其正面和反面朝上的情况考察其正面和反面朝上的情况可规定可规定:用用 1表示表示“正面朝上正面朝上”用用 0 示示“反面朝上反面朝上”结论结论：不管试验结果是否与数值有关，我们都可以通过引不管试验结果是否与数值有关，我们都可以通过引入某个变量，使试验结果与数建立了对应关系入某个变量，使试验结果与数建立了对应关系这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数单值函数.定义域为样本空间定义域为样本空间S，取值为实数，取值为实数.e.X(e)R这即为所谓的这即为所谓的随机变量随机变量（1 1）它是一个变量）它是一个变量,它的取值随试验结果而改变它的取值随试验结果而改变（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，故随）由于试验结果的出现具有一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率的概率.定义定义 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S=S=e e.X=X(e)是是定义在样本空间定义在样本空间S上的上的实值单值实值单值函数函数.称称X=X(e)为为随机变量随机变量.简记为简记为 r.v.说明说明(3)(3)随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N X,Y,Z,W,N 等表等表示示,而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写一般采用小写字母字母 x,y,z,w,nx,y,z,w,n等等.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件.引入随机变量后，引入随机变量后，随机试验中的各种事随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.对对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件A收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫B没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 而有而有 PA=PX=1PA=PX=1PB=PX=0PB=PX=0我们将研究两类随机变量：我们将研究两类随机变量：三、随机变量的分类三、随机变量的分类 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点同，又有其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量 第二节第二节 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律离散型随机变量定义离散型随机变量定义离散型随机变量分布律离散型随机变量分布律几种常见分布几种常见分布定义定义1：若随机变量：若随机变量X的所有可能取值是的所有可能取值是有限多个有限多个或或可列无限多个可列无限多个,则称则称X为为离散型随机变量离散型随机变量.一、离散型随机变量定义一、离散型随机变量定义例如：例如：1、设、设X表示抛三次硬币的试验中出现正表示抛三次硬币的试验中出现正 面朝上的次数面朝上的次数.X的可能取值为的可能取值为0，1，2，3.2、设、设Y表示表示120急救电话台一昼夜收到的呼次数急救电话台一昼夜收到的呼次数则则Y的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,X和和Y都是离散型随机变量都是离散型随机变量其中其中 (k=1,2,)满足：满足：k=1,2,（1）（2）定定义义2：设设 xk(k=1,2,)是是离离散散型型随随机机变变量量 X 所所取的一切可能值，称取的一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律.用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律二、离散型随机变量的分布律二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量分布律离散型随机变量分布律也可以用列表法表示也可以用列表法表示X离散型随机变量可完全由其分布律来刻划离散型随机变量可完全由其分布律来刻划即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定些值的概率唯一确定解解:依据分布律的性质依据分布律的性质P(X=k)0,a0,从中解得从中解得即即例例1设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数a.例例2 2 设设X的分布律为的分布律为求求 P(0X2)P(00 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作 X().分布律的验证 由于可知对任意的自然数 k，有 又由幂级数的展开式，可知所以是分布律返回主目录服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目泊松分布的应用泊松分布的应用:体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布可以看作泊松分布,其参数其参数 可以由观测值的平均值求可以由观测值的平均值求出。出。对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意在这个意义上，我们说义上，我们说 这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、四、小结小结第三节 随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义随机变量分布函数的定义分布函数的性质分布函数的性质离散型随机变量分布函数的求法离散型随机变量分布函数的求法 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的内的概率概率.设设 X 是一个是一个 随机变量随机变量，称称为为 X 的分布函数的分布函数,记作记作 F(x).定义定义2.2:1、分布函数的定义、分布函数的定义(1)分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量高等数学的工具来研究随机变量.(2)只要知道了随机变量只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数，它的统计特性就可以它的统计特性就可以得到全面的描述得到全面的描述.如如:对任意实数对任意实数a、b、x1x2P x1X x2 =P X x2 -P X x1=F(x2)-F(x1)请注意请注意请注意请注意 :2、分布函数的性质、分布函数的性质(1)(2)不可能事件不可能事件必然事件必然事件性质性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某是鉴别一个函数是否是某 个随机变量个随机变量 的的分布函数的充分必要条件分布函数的充分必要条件.(3)F(x)右连续，即右连续，即 设离散型设离散型 随机变量随机变量 X 的分布律是的分布律是P X=xk =pk ,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=即即F(x)是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.一般地一般地一般地一般地则其分布函数则其分布函数3、离散型随机变量分布函数的求法、离散型随机变量分布函数的求法具体求时，先根据具体求时，先根据 的取值情况将分布函数定义的取值情况将分布函数定义域域 分为若干个区间，再在每个区间上讨分为若干个区间，再在每个区间上讨论论F(x)的取值。的取值。当当 x0 时时，X x =，故故 F(x)=0例例1 设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为当当 0 x 1 时时，F(x)=PX x=P(X=0)=F(x)=P(X x)解解X求求 X 的分布函数的分布函数 F(x).当当 1 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1=+=当当 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1+PX=2=1故故的分布函数图的分布函数图第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质概率密度的性质三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量,称称 f(x)为为 X 的的概率密度概率密度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度.1 1、连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义有有,使得对任意使得对任意实数实数 ,对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f(x),连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续2、概率密度、概率密度 f(x)的性质：的性质：f(x)0 x1面积为面积为1利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1,x2,(x1 0)都是常数都是常数,则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布.事实上事实上,则有则有曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称；函数函数 在在 上单调增加上单调增加,在在 上上单调减少单调减少,在在 取得最大值；取得最大值；x=为为 f(x)的两个拐点的横坐标；的两个拐点的横坐标；当当x 时，时，f(x)0.f(x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图的概率密度曲线图.决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 设设 X ,X 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布 的分布函数的分布函数 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定，当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.记为记为其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：标准正态分布标准正态分布的性质的性质:事实上事实上 ,标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个一在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布.引理引理证证Z Z 的分布函数为的分布函数为则有则有 根据引理根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.于是于是 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表正态分布表当当 x 0 时时,(x)的值的值.若若若若 XN(0,1),N(0,1)则则例例 3 3例4由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974 3 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布可以认为，可以认为，X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”.N(0,1)标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点设设若数若数 满足条件满足条件则称点则称点 为为标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点.解解P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h.看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:例例 5:公共汽车车门的高度是按男子与车门顶公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在头碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求因为因为 XN(170,62),),故故 P(X0.99因而因而 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X0 时时,解解 设设Y 和和 X 的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，求导可得求导可得若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，的过程中，关键的一步是设法关键的一步是设法从从 g(X)y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X 的不等式的不等式.例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 用用 代替代替 X2 y 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出的分布，从而求出相应的概率相应的概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.定理定理 设随机变量设随机变量 X 具有概率密度具有概率密度则则 Y=g(X)是是一个连续型随机变量一个连续型随机变量 Y，其概率密度为其概率密度为其中其中 h(y)是是 g(x)的反函数的反函数，即即 定理（续）定理（续）解解例例5 设随机变量设随机变量 服从正态分布，证明服从正态分布，证明 也也服从正态分布服从正态分布.1、一台电子设备内装有、一台电子设备内装有5个某种类型的电子管，已知这种电子管的寿命（单位：小个某种类型的电子管，已知这种电子管的寿命（单位：小时）服从参数为时）服从参数为1000 的指数分布。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概的指数分布。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为率为95%，两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率是，两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率是70%，若两个以上的电子，若两个以上的电子管损坏，则设备不能正常工作。求这台电子设备在正常工作管损坏，则设备不能正常工作。求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工小时后仍能正常工作的概率。（设各电子管工作相互独立）作的概率。（设各电子管工作相互独立）2、设有甲、乙、丙、设有甲、乙、丙3门炮，同时独立向某目标射击，命中率分别为门炮，同时独立向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,目标被命目标被命中中1发炮弹而被击落的概率为发炮弹而被击落的概率为0.2,目标被命中目标被命中2发炮弹而被击落的概率为发炮弹而被击落的概率为0.6,目标被命中目标被命中3发发炮弹而被击落的概率为炮弹而被击落的概率为0.9,求求:(1)3门炮在门炮在1次射击中击落目标的概率次射击中击落目标的概率 (2)在目标被击落的条件下在目标被击落的条件下,只由甲炮击中的概率只由甲炮击中的概率.3、设连续型随机变量、设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为求求:(1)系数系数k ,(2)X的分布函数的分布函数4、设测量误差、设测量误差X的密度为的密度为，求，求（1）测量误差的绝对值不超过）测量误差的绝对值不超过30的概率的概率（2）测量）测量3次，每次测量独立，求至少有次，每次测量独立，求至少有1次测量误差的绝对值不超过次测量误差的绝对值不超过30的概率。的概率。3、设连续型随机变量、设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为求求:(1)系数系数k ,(2)X的分布函数的分布函数4、设测量误差、设测量误差X的密度为的密度为，求，求（1）测量误差的绝对值不超过）测量误差的绝对值不超过30的概率的概率（2）测量）测量3次，每次测量独立，求至少有次，每次测量独立，求至少有1次测量误差的绝对值不超次测量误差的绝对值不超过过30的概率。的概率。1、解：设、解：设表示电子管寿命，表示电子管寿命，表示表示5个电子管使用个电子管使用1000小时后损坏的个数。则小时后损坏的个数。则又设：又设：A=“电子设备在正常工作电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作小时后仍能正常工作”由全概率公式，有由全概率公式，有2、解：设、解：设A，B，C分别表示甲、乙、丙分别表示甲、乙、丙3门炮击中目标门炮击中目标D：表示目标被击落：表示目标被击落则：则：（1）由全概率公式）由全概率公式（2）由贝叶斯公式）由贝叶斯公式3、解、解（1）（2）X的分布函数的分布函数（3）4、解：、解：（1）（2）