2017年山东省日照市莒县南四校联盟中考数学一模试卷.doc

2017年山东省日照市莒县南四校联盟中考数学一模试卷

一、选择题（本题共12个小题，1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，共40分）
1．（3分）的倒数是（　　）
A．﹣3 B． C．3 D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．+= B．x6÷x3=x2 C．=2 D．a2（﹣a2）=a4
3．（3分）PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
4．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜ B．x≤ C．x＞ D．x≥
5．（3分）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
10．（4分）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（　　）
①若|a|=|b|，则a2=b2；②若ma2＞na2，则m＞n；
③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　）

A．6 B．13 C． D．2
12．（4分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；
②b+c+1=0；
③3b+c+6=0；
④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（4，﹣2），则k的值为　　．

14．（4分）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD=　　．

15．（4分）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为　　．

16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是　　（填序号）

三、解答题（本题共6小题，共64分）请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
17．（10分）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有　　，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．

18．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）

19．（10分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．

21．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

22．（12分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．
（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．

2017年山东省日照市莒县南四校联盟中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12个小题，1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，共40分）
1．（3分）（2017•莒县一模）的倒数是（　　）
A．﹣3 B． C．3 D．
【解答】解：根据题意得：﹣×（﹣3）=1，
可得﹣的倒数为﹣3．
故选A．

2．（3分）（2017•商河县一模）下列计算正确的是（　　）
A．+= B．x6÷x3=x2 C．=2 D．a2（﹣a2）=a4
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=x3，错误；
C、原式=2，正确；
D、原式=﹣a4，错误，
故选C

3．（3分）（2014•泰安）PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，
故选：B．

4．（3分）（2017•莒县一模）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜ B．x≤ C．x＞ D．x≥
【解答】解：在函数y=中，自变量x的取值范围是x≤，
故选：B．

5．（3分）（2013•东莞市）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：移项得，5x﹣2x＞5+1，
合并同类项得，3x＞6，
系数化为1得，x＞2，
在数轴上表示为：

故选A．

6．（3分）（2011•包头）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球，
∴其中2个球的颜色相同的概率是：=．
故选：D．

红1
红2
红3
黄1
黄2
红1
﹣
红1红2
红1红3
红1黄1
红1黄2
红2
红2红1
﹣
红2红3
红2黄1
红2黄2
红3
红3红1
红3红2
﹣
红3黄1
红3黄2
黄1
黄1红1
黄1红2
黄1红3
﹣
黄1黄2
黄2
黄2红1
黄2红2
黄2红3
黄2黄1
﹣

7．（3分）（2011•兰州）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面可看到，左边2个正方形，中间1个正方形，右边1个正方形．
故选D．

8．（3分）（2011•长春）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，
依题意，得 ．
故选A．

9．（4分）（2017•商河县一模）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选D．

10．（4分）（2017•莒县一模）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（　　）
①若|a|=|b|，则a2=b2；②若ma2＞na2，则m＞n；
③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①若|a|=|b|，则a2=b2，此命题为真命题；它的逆命题为若a2=b2，则|a|=|b|，此逆命题为真命题；
②若ma2＞na2，则m＞n，此命题为真命题；它的逆命题为若m＞n，则ma2＞na2，此逆命题为假命题；
③垂直于弦的直径平分弦，此命题为真命题；它的逆命题为平方弦的直径垂直于弦，此逆命题为假命题；
④对角线互相垂直的四边形是菱形，此逆命题为假命题，它的逆命题为菱形的对角线互相垂直，此逆命题为真命题．
故选B．

11．（4分）（2017•商河县一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　）

A．6 B．13 C． D．2
【解答】解：过O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC=6，
∴BD=CD=BC=×6=3，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O、D三点共线，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∵OA=1，
∴OD=AD﹣OA=3﹣1=2，
在Rt△OBD中，
OB===
故选C．

12．（4分）（2014•绵阳校级自主招生）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；
②b+c+1=0；
③3b+c+6=0；
④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1，
故②错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故选B

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）（2017•商河县一模）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（4，﹣2），则k的值为　﹣8　．

【解答】解：点A的坐标为（4，﹣2），
根据矩形的性质，点C的坐标为（﹣4，2），
把（﹣4，2）代入y=，得k=﹣8．
故答案为：﹣8．

14．（4分）（2017•商河县一模）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD=　　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∵AE：BE=4：3，且BF=2，
∴=，
则=，
解得：DF=，
故BD=BF+DF=2+=．
故答案为：．

15．（4分）（2017•商河县一模）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为　　．

【解答】解：设圆心为O，连接OA、OD．
∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=30°，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，∠OAC=∠ACO=30°．
∴∠BAC=90°，
∴BC是直径，
又∵OA=OD=OB=OC，
则△AOD、△AOB、△COD都是等边三角形．
∴AB=AD=CD．
又∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴OB=OC=AB=AD=DC=2（cm）．
∴阴影部分的面积=S梯形﹣S△ABC=（2+4）×﹣×4×=3﹣2=．
故答案为．

16．（4分）（2017•商河县一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是　①④　（填序号）

【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，
∵AE=AB，
∴BE=PE=2AE，
∴∠APE=30°，
∴∠PEF=∠BEF=60°，
∴∠EFB=∠EFP=30°，
∴EF=2BE，PF=PE，
∴①正确，②不正确；
又∵EF⊥BP，
∴EF=2BE=4EQ，
∴③不正确；
又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴④正确；
所以正确的为①④，
故答案为：①④．

三、解答题（本题共6小题，共64分）请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
17．（10分）（2014•吉林）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有　48　，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．

【解答】解：（1）根据题意得：30÷25%=120（份），
则抽取了120份作品；

（2）等级B的人数为120﹣（36+30+6）=48（份），
补全统计图，如图所示：

故答案为：48；

（3）根据题意得：800×=240（份），
则估计等级为A的作品约有240份．

18．（10分）（2010•兰州）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）

【解答】解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．
Rt△ABD中，
AD=ABsin45°=4×=2．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4≈5.6．
即新传送带AC的长度约为5.6米；

（2）结论：货物MNQP应挪走．
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2．
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．
∴CB=CD﹣BD=2﹣2=2（﹣）≈2.1．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，
∴货物MNQP应挪走．

19．（10分）（2014•荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则，
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；

（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），
整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．

20．（10分）（2011•安顺）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．

【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点．

（2）解：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA=，
∵cosB=，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA=，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=．

21．（12分）（2013•包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

【解答】（1）解：∵=，
∴=．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴=，
∴==，
∴==；

（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，
∴AF=OA．

（3）证明：连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE=CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴==，
∴=．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴==．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴==，
∴=．
∴CG=BG．

22．（12分）（2013•呼伦贝尔）已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．
（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．
【解答】解：（1）对称轴为x=﹣=﹣2，
解得b=﹣1，
所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3，
∵y=﹣x2﹣x+3=﹣（x+2）2+4，
∴顶点D的坐标为（﹣2，4）；

（2）令y=0，则﹣x2﹣x+3=0，
整理得，x2+4x﹣12=0，
解得x1=﹣6，x2=2，
∴点A（﹣6，0），B（2，0），
如图1，过点D作DE⊥y轴于E，
∵0≤t≤4，
∴△PAD的面积为S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE，
=×（2+6）×4﹣×6t﹣×2×（4﹣t），
=﹣2t+12，
∵k=﹣2＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴t=4时，S有最小值，最小值为﹣2×4+12=4；

（3）如图2，过点D作DF⊥x轴于F，
∵A（﹣6，0），D（﹣2，4），
∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4，
∴AF=DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADF=45°，
由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°，
∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，
∵OF=OB=2，
∴PO为△BDF的中位线，
∴OP=DF=2，
∴点P的坐标为（0，2），
由勾股定理得，DP==2，
AD=AF=4，
∴==2，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），OC=3，
∴==2，
∴=，
又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，
∴Rt△ADP∽Rt△AOC．

参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sks；sd2011；2300680618；CJX；gbl210；sjzx；HJJ；lantin；gsls；fangcao；1987483819；知足长乐；守拙；Ldt；Linaliu；MMCH；wdzyzlhx；zhangCF；zhjh；星期八（排名不分先后）
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2017年4月8日
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