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3.2 函数模型应用举例
课堂探究
探究一 已知函数模型的应用题
已知函数模型的应用题主要有两种情况：一是已知某量满足某函数式，据此列出所求量的函数式，然后利用函数知识解答相关问题；二是已知所求量满足的函数式，但式中含有参数，像这样的问题，应先根据已知条件求出函数式中的参数，然后再据此函数解答相关问题．
【典型例题1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？
解：先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×，即＝，
解之，得h＝10，
故原式可化简为T－24＝(88－24)×，
当T＝35时，代入上式，得，35－24＝(88－24)×，即＝，
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.
探究二 建立函数模型的应用题
当实际应用题中没有给出函数模型时，其解题步骤是：
第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，找出题意中所蕴含的函数关系；
第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；
第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；
第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论，要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义．
【典型例题2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝，N＝t.今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求总利润y的最大值．
思路分析：(1)总利润＝投资甲项目利润＋投资乙项目利润＝M＋N；(2)转化为求(1)中函数的最大值．
解：(1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝(3－x)(亿元)，
则有y＝＋(3－x)，x∈[0,3]．
(2)令＝t，t∈[0，]，则x＝t2，
此时y＝t＋(3－t2)＝－(t－1)2＋.
∵t∈[0，]，
∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值，为，
即总利润y的最大值是亿元．
探究三 拟合函数模型的应用题
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
【典型例题3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
年序
最大积雪深度x/cm
灌溉面积y/hm2
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉的土地面积是多少？
思路分析：首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型．
解：(1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y(hm2)和最大积雪深度x(cm)满足线性函数模型y＝a＋bx(a，b为常数，b≠0)．
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可算得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)，得当x＝25时，y＝2.4＋1.8×25＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.
探究四 易错辨析
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
【典型例题4】 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b＜a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x.
问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．
错解：设四边形EFGH的面积为S，
则S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋.
根据二次函数的性质可知，
当x＝时，S有最大值.
错因分析：错解中没有考虑所得二次函数的定义域，就直接利用二次函数的性质求解，从而导致出错．
正解：设四边形EFGH的面积为S，则
S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋，x∈(0，b]．
因为0＜b＜a，
所以0＜b＜.
当≤b，即a≤3b时，
当x＝时，S有最大值；
当＞b，即a＞3b时，
易知S(x)在(0，b]上是增函数，
所以当x＝b时，S有最大值ab－b2.
综上可得，当a≤3b，x＝时，S有最大值；当a＞3b，x＝b时，S有最大值ab－b2.
反思利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解．
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