1、3.2 函数模型应用举例课堂探究探究一 已知函数模型的应用题已知函数模型的应用题主要有两种情况：一是已知某量满足某函数式，据此列出所求量的函数式，然后利用函数知识解答相关问题；二是已知所求量满足的函数式，但式中含有参数，像这样的问题，应先根据已知条件求出函数式中的参数，然后再据此函数解答相关问题【典型例题1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降温到40 需要20 min，那么降温到35 时，需要多长时间？解：
2、先设定半衰期h，由题意知4024(8824)，即，解之，得h10，故原式可化简为T24(8824)，当T35时，代入上式，得，3524(8824)，即，两边取对数，用计算器求得t25.因此，约需要25 min，可降温到35 .探究二 建立函数模型的应用题当实际应用题中没有给出函数模型时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，找出题意中所蕴含的函数关系；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论，要注意检
3、验所得的结论是否符合实际问题的意义【典型例题2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M，Nt.今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元(1)写出y关于x的函数表达式；(2)求总利润y的最大值思路分析：(1)总利润投资甲项目利润投资乙项目利润MN；(2)转化为求(1)中函数的最大值解：(1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M(亿元)，此时乙项目投资(3x)亿元，获得利润为N(3x)(亿元)，则有y(3x)，x0,3(2)令t，t0，则xt2，此时yt(3t2)(t1)2
4、.t0，当t1，即x1时，y有最大值，为，即总利润y的最大值是亿元探究三 拟合函数模型的应用题对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”
5、的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据【典型例题3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；(2)建立
6、一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉的土地面积是多少？思路分析：首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型解：(1)描点作图如图甲：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y(hm2)和最大积雪深度x(cm)满足线性函数模型yabx(a，b为常数，b0)取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可算得a2.4，b1.8.这样，我们得到一个函数模型y2.41.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这
7、个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由(2)，得当x25时，y2.41.82547.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.探究四 易错辨析易错点求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制【典型例题4】 如图所示，在矩形ABCD中，已知ABa，BCb(ba)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AEAHCGCFx.问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积错解：设四边形EFGH的面积为S，则Sab22x2(ab)x22.根据二次函数的性质可知，当x时，S有最大值.错因分析：错解中没有考虑所得二次函数的定义域，就直接利用二次函数的性质求解，从而导致出错正解：设四边形EFGH的面积为S，则Sab22x2(ab)x22，x(0，b因为0ba，所以0b.当b，即a3b时，当x时，S有最大值；当b，即a3b时，易知S(x)在(0，b上是增函数，所以当xb时，S有最大值abb2.综上可得，当a3b，x时，S有最大值；当a3b，xb时，S有最大值abb2.反思利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解
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