1、2.1 指数函数课堂探究探究一 比较两个幂的大小对于两个幂的大小比较，可从以下两个方面来考虑：(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断(2)对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较【典型例题1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)1.57，；(3)2.30.28,0.673.1.思路分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值1比较大小解：(1)(单调性法)由于1
2、.72.5与1.73的底数是1.7，故构造函数y1.7x，而函数y1.7x在R上是增函数又2.53，1.72.51.73.(2)(化同底)1.57，考察函数y.01，y在R上是减函数又7，即1.57.(3)(中间量法)由指数函数的性质，知2.30.280.6701，则2.30.280.673.1.探究二 解指数不等式解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如axay的不等式，借助yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解；(3)形如axbx的形式利用图象求解【典型例题2】 解下列关于x的不等式：(1) 16；(2
3、)a2x1ax5(a0，且a1)思路分析：(1)将16写为，再利用指数函数的单调性求解；(2)讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求解解：(1)16，.01，x54，即x9.故原不等式的解集为x|x9(2)当0a1时，a2x1ax5，2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为x|x6探究三指数型函数的单调性对于形如yaf(x)(a0，且a1)的函数，有以下结论：(1)函数yaf(x)(a0，且a1)的定义域与f(x)定义域相同；(2)若求值域，则先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定yaf(x)的值域；(3)当a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性
4、相同；当0a0，函数的值域为.(2)函数ux26x17在3，)上是增函数，即对任意x1，x23，)，且x1x2，有u1，即y1y2，函数y在3，)上是减函数同理可知y在(，3上是增函数规律总结函数yaf(x)可看作是函数yau与uf(x)复合而成的，其中函数uf(x)称为内函数，函数yau为外函数函数yaf(x)的单调性遵循“同增异减”的原则，即内外函数单调性一致时，函数yaf(x)为增函数，内外函数单调性相反时，函数yaf(x)是减函数探究四 易错辨析易错点因忽略换元后新变量的取值范围而导致错误【典型例题4】 设a0，且a1，如果函数ya2x2ax1在1,1上的最大值为14，求a的值错解：y(ax1)22，又y在1,1上单调递增，x1时，y取得最大值a22a114，即a22a150，a3，或a5(舍去)a3.错因分析：当a1时，在x1,1内，ax；当0a1，则t，若0a1时，y在ta处取得最大值，a22a114，a3.当0a0，且a1)的值域是(0，)，在利用换元法解题时，若假设tax，则t0，一定要注意换元后新变量的范围
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