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2.1 指数函数
课堂探究
探究一 比较两个幂的大小
对于两个幂的大小比较，可从以下两个方面来考虑：
(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．
【典型例题1】 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)1.5－7，；
(3)2.3－0.28,0.67－3.1.
思路分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值1比较大小．
解：(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，而函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)(化同底)1.5－7＝＝，＝＝，
考察函数y＝.
∵0<<1，∴y＝在R上是减函数．
又7<12，∴>，
即1.5－7>.
(3)(中间量法)由指数函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，则2.3－0.28＜0.67－3.1.
探究二 解指数不等式
解指数不等式问题，需注意三点：
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的形式利用图象求解．
【典型例题2】 解下列关于x的不等式：
(1) ≤16；
(2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
思路分析：(1)将16写为，再利用指数函数的单调性求解；(2)讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求解．
解：(1)∵≤16，∴≤.
∵0<<1，∴x＋5≥－4，即x≥－9.
故原不等式的解集为{x|x≥－9}．
(2)当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，
当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；
当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
探究三指数型函数的单调性
对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)定义域相同；
(2)若求值域，则先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相反．
【典型例题3】 已知函数y＝，
(1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间．
思路分析：将函数y＝分解为y＝与u＝x2－6x＋17，再根据u＝x2－6x＋17的定义域、值域、单调性确定原函数的定义域、值域、单调性．
解：(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝及u＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y＝的定义域为R.
∵u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
∴≤.
又>0，∴函数的值域为.
(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x1，x2∈[3，＋∞)，且x1<x2，有u1<u2，从而>，即y1>y2，∴函数y＝在[3，＋∞)上是减函数．
同理可知y＝在(－∞，3]上是增函数．
规律总结函数y＝af(x)可看作是函数y＝au与u＝f(x)复合而成的，其中函数u＝f(x)称为内函数，函数y＝au为外函数．函数y＝af(x)的单调性遵循“同增异减”的原则，即内外函数单调性一致时，函数y＝af(x)为增函数，内外函数单调性相反时，函数y＝af(x)是减函数．
探究四 易错辨析
易错点 因忽略换元后新变量的取值范围而导致错误
【典型例题4】 设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
错解：∵y＝(ax＋1)2－2，
又∵y在[－1,1]上单调递增，∴x＝1时，y取得最大值．
∴a2＋2a－1＝14，即a2＋2a－15＝0，
∴a＝3，或a＝－5(舍去)．
∴a＝3.
错因分析：当a>1时，在x∈[－1,1]内，ax∈；
当0<a<1时，在x∈[－1,1]内，ax∈.
而y＝(t＋1)2－2在(－1，＋∞)上是单调递增的，
故当t取最大值时，y取最大值．
综上，应分两种情况求解才是正确的．
正解：设t＝ax，若a>1，则t∈，
若0<a<1，则t∈，
∵y＝(t＋1)2－1，它关于t在(－1，＋∞)上单调递增．
∴当a>1时，y在t＝a处取得最大值，
∴a2＋2a－1＝14，∴a＝3.
当0<a<1时，y在t＝处取得最大值，
∴＋－1＝14，∴a＝.
∴a＝3或a＝.
反思 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝ax，则t>0，一定要注意换元后新变量的范围．
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