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2.1 指数函数
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疏导引导
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.根式
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N *.当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示,方根可以合并成± (a>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0.
式子叫做根式,n叫根指数,a叫做被开方数.
结论:当n是奇数时, =a;
当n是偶数时, =|a|=
疑难疏引 在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义:如果x n=a(n∈N且n>1),那么x就叫a的n次方根.
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义:
规定:a=(a>0,m、n∈N *,n>1);
a-= = (a>0,m、n∈N *,n>1).
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
疑难疏引
(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.
除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.
(2)指数幂与根式运算的统一性.
指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能出现既有指数幂又有根式的形式.
(3)有理指数幂的运算性质的记忆口诀.
①a r·a s=a r+ s
同底两数作乘法,底数不变指数加.
②(a r) s=a r s
幂的乘方要记明,底数不变指数乘.
③(ab) r=a r b r
积的乘方大不同,变为幂后再相乘.
3.有理指数幂的运算性质
(1)a r·a s=a r+ s(a>0,r、s∈Q);
(2)(a r) s=a rs(a>0,r、s∈Q);
(3)(ab) r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q).
4.无理指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
●案例1化简:
(1);
(2)-(|x||y|)
【探究】 对题(1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题(2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式,从而可通过约分化简.
(1)
=［xy 2(xy) 3］
=［xy 2xy］
=(xy)
=xy
=y.
(2) -=-.
∵|x|≠|y|,
∴原式=(x-)2-x-y-+(y-)2-(x-+x-y-+y-)=-2x-y-=-.
【溯源】 对多个根式组成的式子进行化简.我们解题的一般原则是先算根号内的,后进行根式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行化简.
●案例2 已知a=-,b=,求的值.
【探究】 由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值.
∵a≠0,
∴原式=.
又∵a-27b≠0,
∴原式=
【溯源】 化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得代数式的值.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分子和分母,将负指数化为正指数.
2.1.2 指数函数及其性质
1.定义
一般地,函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数.它的定义域为R.
疑难疏引 (1)指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=ax+ k(a>0且a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a -x(a>0,且a≠1),因为它可以化为y=,其中>0,且≠1.
(2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0且a≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.
①若a=0,当x>0时,a x=0,当x≤0时,a x没有意义;
②若a<0,如y=(-2) x对于x=、等都是没有意义的;
③若a=1,则函数为y=1 x=1是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性.
2.性质
y=a x
图象
0<a<1时的图象
a>1时的图象
性质
(1)定义域为R,值域为(0,+∞)
(2)a 0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点
(3)ax=a,即x=1时,y等于底数a,图象都经过(1,a)点
(4)在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数
(5)x<0时,a x>1;x>0时,0<a x<1
x<0时,0<a x<1;x>0时,a x>1
(6)既不是奇函数,也不是偶函数
3.单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.
当0<a<1时,x→+∞,y→0;当a>1时,x→-∞,y→0;
当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;
当0<a<1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.
记忆口诀:
指数增减要看清,抓住底数不放松,
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
●案例1如何判断三个数1.5 -0.2,1.3 0.7,()的大小关系？
【探究】 先比较1.5 -0.2即()0.2和()的大小,考察指数函数y=() x,由于底数在区间(0,1)内,所以指数函数y=() x在(-∞,+∞)上是减函数.故由0.2= <,得1>()0.2>().
另一方面,由于1.3>1,y=1.3 x在(-∞,+∞)上是增函数,由0.7>0,得1.3 0.7>1.所以()<1.5 -0.2<1.3 0.7.于是()<1.5 -0.2<1.3 0.7.
【溯源】 在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果.若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.
●案例2求下列函数的定义域与值域:
(1)y=2;
(2)y=() |x|;
(3)y=4 x+2 x+1+1;
(4)y=2.
【探究】 (1)因为指数函数y=2 x的定义域为x∈R时,值域为y∈(0,+∞);若x≠0,则y≠1;由于y=2中的≠0,所以y≠2 0=1.所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3},值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)因为y=() |x|中的|x|≥0,所以x∈R,0<y≤1.所以所求函数的定义域为R,值域为{y|0<y≤1}.
(3)将已知函数整理成y=4 x+2 x+1+1=(2 x) 2+2(2 x)+1=(2 x+1) 2.由此可知定义域为R,值域为{y| y>1}.
(4)已知函数可化为y=2,由≥0,得x>1;又由>0,得y=2>1.所以定义域为{x| x>1},值域为{y| y>1}.
【溯源】
求自然定义域的问题,即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合);求值域的问题均为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域,然后求出内层函数的值域,由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域,即是复合函数的值域.
●案例3
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字).
【探究】
通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并列表、描点、作图,进而求得所求.
设这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.
经过1年,剩留量y=1×84%=0.84;
经过2年,剩留量y=1×84%×84%=0.71;
……
一般地,经过x年,剩留量y=0.84x.
根据这个函数关系式可以列表如下:
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.
答:约经过4年,剩留量是原来的一半.
【溯源】
在解决实际应用问题时,首先判断函数模型,再根据函数性质和图象解决问题,此题就是指数函数图象的应用,也是数形结合思想的体现.
●案例4
讨论函数y=() x-() x+1(x∈［-3,2］)的单调区间,并求出它的值域.
【探究】
通过代换u=() x,则y就成了关于u的二次函数.
令u=() x,则y=u 2-u+1=(u-) 2+.
∵x∈［-3,2］,∴≤u=() x≤8.
∴≤y≤57.
∴值域为［,57］.再求单调区间.
(1) ≤u≤,即≤()x≤,故x∈［1,2］时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调减函数,∴y=［()x-］2+是单调增函数.
(2) ≤u≤8,即≤()x≤8,故x∈［-3,1］时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调增函数,∴y=［()x-］2+是单调减函数.
∴函数的单调增区间是［1,2］,单调减区间是［-3,1］.
【溯源】
在解决指数和其他函数相复合构成的新函数的性质问题时,一般采取换元的做法,无论是求值域还是单调性,都要注意内层函数的取值范围和对指数底的讨论,在解决单调性问题时,要记清复合函数单调性的规律,即“内外层单调性相同,则函数在此区间上递增,如果内外层单调性相反,则此函数在此区间上递减”.
活学巧用
1. 计算下列各式.
(1);
(2)(2) 0+2 -2·(2)-(0.01) 0.5.
【思路解析】 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.
(1)【解法一】 = = = =(9) =9 =3.
【解法二】=====3
(2)【解】 (2) 0+2 -2·(2)- -(0.01) 0.5
=1+×()-()=1+×-=.
2. 计算:
(1)();
(2)0.008;
(3)();
(4)(2a+1) 0;
(5)［-() -1］-1.
【思路解析】 在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时〔如(1)(2)(3)〕,就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.
在幂的运算中,对于形如m 0的式子,要注意对底数m是否为零进行讨论,因为只有在m≠0时,m 0才有意义;而对于形如()-n的式子,我们一般是先变形为()n,然后再进行运算.
【答案】(1)()-=()= = =.
(2)0.008=(0.2 3) =0.2 -2=() -2=5 2=25.
(3)()=()-===.
(4)(2a+1) 0=1, a≠-,无意义,a=-.
(5)［-() -1］-1
=(-) -1
=(-) -1
=-.
3. 把根式-25(a-b) -2改写成分数指数幂的形式为… ( )
A.-2(a-b)-
B.-2(a-b)-
C.-2(a- -b-)
D.-2(a--b-)
【思路解析】 考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2×(a-b) -=-2(a-b) -.故选A.
【答案】 A
4. 化简下列各式:
(1)(x -1+x+ x 0)(x--x);
(2);
(3).
【思路解析】
注意题中各式的结构特点,善于识别平方差、立方差等公式.
【答案】
(1)原式=(x) 3-(x) 3=x-x.
(2)原式=-=
(x-)2-x-y-+(y-)2-[((x-)2-x-y-+(y-)2)]=2(xy)-=-2.
(3)原式=.
5. 下列各等式中,正确的是( )
A. =a
B. =
C.a0=1
D. =(-1)
【思路解析】
要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确,如果不等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则.
【解】=|a|,由于不知道a的符号,因此A不正确;
∵,<0,
∴≠.
因此B不正确;
如果a=0,则a0没有意义,因此C也不正确;
∵>1,∴=(-1)=(-1).
∴D正确.因此,选D.
【答案】 D
6. 已知a +a- =2,求下列各式的值.
(1) a2 +a -2;
(2) a3 +a -3;
(3) a4 +a -4.
【思路解析】 本题主要考查的是已知条件与所求式子之间的联系.由(a+a-)2=a+ a -1+2=4可知a+ a -1=2.
同理可知
(a+ a -1)2=a2+a -2+2,
(a2+a -2)2=a4+a -4+2.
【答案】
(1)2;(2)2;(3)2.
7. 已知x+x =3,求x+ x -1与的值.
【思路解析】
由(x+x)2=9,
可得x+ x -1=7.
∵(x+x)3=27,
∴x+3x·x +3xx -1+x-=27.
∴x+ x-=18.
故原式=2.
8. 关于函数(1)y=x2和(2)y=2x的下列说法正确的是( )
A. (1)和(2)都是指数函数
B. (1)和(2)都不是指数函数
C. (1)是指数函数,(2)不是
D. (2)是指数函数,(1)不是
【思路解析】
由指数函数特征知(1)不是,(2)是.
【答案】 D
9. 已知对不同的a值,函数f(x)=2+a x-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是( )
A. (0, 3)
B. (0, 2)
C. (1, 3)
D. (1, 2)
【思路解析】
函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定为常数,本题要想使a x-1为常数,又∵a取不同的值,因此x-1=0.从而得解.
为使y为定值,应使x-1=0,则此时y=2+a0=3,故P点坐标为(1,3).
因此,选C.
【答案】 C
10. 设y 1=4 0.9,y 2=8 0.44,y 3=() -1.5,则( )
A. y 3>y 1>y 2
B. y 2>y 1>y 3
C. y 1>y 2>y 3
D. y 1>y 3>y 2
【思路解析】 把给出的三个函数化为同底的指数式,y 1=2 1.8,y 2=2 1.32,y 3=2 1.5,再根据指数函数y=2 x是增函数即可判断y 1>y 3>y 2.
【答案】 D
11. 当x>0时,函数f(x)=(a 2-1) x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )
A. 1<|a|<2
B. |a|<1
C. |a|>1
D. |a|>2
【思路解析】 由指数函数的性质可知f(x)在(0,+∞)上是递增函数,所以a 2-1>1,a 2>2,|a|>2.
【答案】 D
12. 函数y=3 (x2+1)的值域为.
【思路解析】 考查指数函数的性质、函数值域的求法.
由于x 2+1≥1,而y=3 x在(-∞,+∞)上是增函数,所以y=3 x2+1≥3,即y=3 x2+1的值域为［3,+∞).
【答案】 ［3,+∞)
13. 求函数y=f(x)=() x-() x+1,x∈［-3,2］的值域.
【思路解析】 将()x看作一个未知量t,把原函数转化为关于t的二次函数求解.
【答案】
∵f(x)=［()x］2-() x+1,x∈［-3,2］,
∴()2≤()x≤()-3,即≤()x≤8.
设t=() x,则≤t≤8.
将函数化为f(t)=t 2-t+1,t∈［,8］.
∵f(t)=(t-) 2+,
∴f()≤f(t)≤f(8).
∴≤f(t)≤57.
∴函数的值域为［,57］.
14. 曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x、y=b x、y=c x和y=d x的图象,则a, b, c, d与1的大小关系是( )
A. a<b<1<c<d
B. a<b<1<d<c
C. b<a<1<c<d
D. b<a<1<d<c
【思路解析】
首先可以根据指数函数单调性,确定c>1,d>1,0<a<1,0<b<1,在y轴右侧令x=1,对应的函数值由小到大依次为b、a、d、c.故应选D.
【答案】 D
15. 函数f(x)=(a 2-1) x是减函数,则a的取值范围是_____________.
【思路解析】 如果此函数是减函数则0<a2-1<1,即a2-1>0,a2-1<1.
解得a∈(-2, -1)∪(1,2).
【答案】 (-2,-1)∪(1,2)
16. 下图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=a t,有以下叙述,其中正确的是… ( )
①这个指数函数的底数为2
②第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月
④浮萍每月增加的面积都相等
⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3,则t 1+t 2=t 3
A.①②
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②⑤
【思路解析】 本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质.
由图形得函数解析式应为y=2 x(x≥0).
【答案】 D
17. 求函数y=a -x2+2x+2(a>0,且a≠1)的单调区间和值域.
【思路解析】
本题是一个复合函数,而且还有未知参数,因此首先要分类讨论,但是在分类讨论之前还要对指数部分的二次函数进行分析判断,在二次函数的单调区间中分类讨论未知参数以确定函数的单调区间和值域.
【解】
y=a -x2+2x+2=a -(x-1)2+3.
令t=g(x)=-(x-1)2+3,t在区间(-∞,1］上递增,在区间［1,+∞)上递减.
y=f(t)=a t=f［g(x)］.
当a>1时,y=f(t)=a t递增,
∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递增,在区间［1, +∞)上递减.
当x=1时,y max=a3,
又y=a t>0,
∴函数的值域为(0,a3］.
当0<a<1时,y=f(t)=a t递减,
∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递减,在区间［1,+∞)上递增,当x=1时,y min=a3,函数的值域为［a3,+∞).
18． 函数y=(-1) (x+1)(x-3)的单调递增区间是( )
A. (1, +∞)
B. (-∞, 1)
C. (1, 3)
D. (-1, 1)
【思路解析】
此函数可以看成是以u=(x+1)(x-3)与y=(-1) u复合而成的函数,显然y=(-1) u单调递减,所以求内层函数也是递减区间即可,借助二次函数图象可知它在(-∞,1)上满足要求.
【答案】 B
21． 集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的:对于任意的x≥0,f(x)∈(1,4］,且f(x)在［0,+∞)上是减函数.判断函数f1(x)=2-x及f2(x)=1+3·()x(x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中,试说明理由.
【答案】
∵f1(49)=2-=-5(1,4］,
∴f1(x)不在集合A中.
又∵x≥0,
∴0<()x≤1.
∴0<3·()x≤3.
从而1<1+3·()x≤4.
∴f2(x)∈(1,4］.
又f2(x)=1+3·()x在［0,+∞)上为减函数,
∴f2(x)=1+3·()x在集合A中.
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