2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试〔四川卷〕
数学〔理科〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设集合，集合，那么〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
2．如图，在复平面内，点表示复数，那么图中表示的共轭复数的点是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
3．一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的直观图可以是〔 〕
4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．假设命题，那么〔 〕
〔A〕 〔B〕
〔C〕 〔D〕
5．函数的局部图象如下列图，那么的值分别是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
7．函数的图象大致是〔 〕
8．从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，假设接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
10．设函数〔，为自然对数的底数〕．假设曲线上存在使得，那么的取值范围是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
11．二项式的展开式中，含的项的系数是_________．〔用数字作答〕
12．在平行四边形中，对角线与交于点，，那么_________．
13．设，，那么的值是_________．
14．是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是________．
15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，假设点到点的距离之和最小，那么称点为点的一个“中位点〞．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．那么有以下命题：
①假设三个点共线，在线AB上，那么是的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③假设四个点共线，那么它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是____________．〔写出所有真命题的序号数学社区〕
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题总分值12分)在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．
17．(本小题总分值12分) 在中，角的对边分别为，且．
〔Ⅰ〕求的值；
〔Ⅱ〕假设，，求向量在方向上的投影．
18．(本小题总分值12分)某算法的程序框图如下列图，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．
〔Ⅰ〕分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；
〔Ⅱ〕甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的局部数据．
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数

…
…
…
…

甲的频数统计表〔局部〕 乙的频数统计表〔局部〕
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数

…
…
…
…

当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率〔用分数表示〕，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
〔Ⅲ〕按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望．
19．(本小题总分值12分)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．
〔Ⅰ〕在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
〔Ⅱ〕设〔Ⅰ〕中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．
20．(本小题总分值13分)椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．
〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；
〔Ⅱ〕设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．
21．(本小题总分值14分)函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．
〔Ⅰ〕指出函数的单调区间；
〔Ⅱ〕假设函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；
〔Ⅲ〕假设函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．
参考答案
一、 选择题：此题考查根本概念和根本运算.每题5分，总分值50分.
1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A
二、填空题：此题考查根底知识和根本运算.每题5分,总分值25分.
11.10 12.2 13. 14. 15.①④
三、解答题:共6小题,共75分.
16.解：设该数列公差为,前项和为.由,可得
.
所以,
解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前项和或. ………….12分
17.解：由,得
,
即,
那么,即. ………….. 5分
由,得,
由正弦定理,有,所以,.
由题知,那么,故.
根据余弦定理,有,
解得或(舍去).
故向量在方向上的投影为. ………….12分
18.解：.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故;
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故. ……………3分
当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：

输出的值
为的频率
输出的值
为的频率
输出的值
为的频率
甲

乙

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ………7分
〔3〕随机变量可能饿取值为0,1,2,3.
故的分布列为

所以
即的数学期望为1. ………12分
19.解：如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,
在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,//平面.
由,,是的中点,所以,,那么直线.
因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. …………………………………………………………………………….6分
解法一:
连接,过作于,过作于,连接.
由知,平面,所以平面平面.
所以平面,那么.
所以平面,那么.
故为二面角的平面角(设为).
设,那么由,,有,.
又为的中点,所以为的中点,且,
在中,;在中,.
从而,,,
所以.
所以.
故二面角的余弦值为. ………………12分
解法二:
设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).
那么,.
因为为的中点,所以分别为的中点,
故,
所以,,.
设平面的一个法向量为,那么
即故有
从而
取,那么,所以.
设平面的一个法向量为,那么
即故有
从而
取,那么,所以.
设二面角的平面角为,又为锐角,
那么.
故二面角的余弦值为. ………………12分
20．解：
所以，.
又由，,
所以椭圆C的离心率……………4分
由知椭圆C的方程为.
设点Q的坐标为(x,y).
(1)当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于两点，此时点坐标为
(2) 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.
因为在直线上，可设点的坐标分别为，那么
. 又
由，得
，即
①
将代入中，得
②
由得.
由②可知
代入①中并化简，得③
因为点在直线上，所以，代入③中并化简，得.
由③及，可知,即.
又满足，故.
由题意，在椭圆内部，所以，
又由有
且，那么.
所以点的轨迹方程是，其中，，………..13分
21．解：函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有.
当时，对函数求导，得.
因为，所以，
所以.
因此
当且仅当==1，即时等号成立.
所以函数的图象在点处的切线互相垂直时，的最小值为1…………7分
当或时，，故.
当时，函数的图象在点处的切线方程为
，即
当时，函数的图象在点处的切线方程为
，即.
两切线重合的充要条件是
由①及知，.
由①②得，.
设，
那么.
所以是减函数.
那么，
所以.
又当且趋近于时，无限增大，所以的取值范围是.
故当函数的图像在点处的切线重合时，的取值范围是.14分