2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学理科一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合，集合，那么 A B C D2如图，在复平面内，点表示复数，那么图中表示的共轭复数的点是 A B C D3一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的直观图可以是 4设，集合是奇数集，集合是偶数集假设命题，那么 A BC D5函数的局部图象如下列图，那么的值分别是 A B C D6抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 A B C D7函数的图象大致是 8从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是 A B C D9节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，假设接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 A B C D10设函数，为自然对数的底数假设曲线上存在使得，那么的取值范围是 A B C D二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分11二项式的展开式中，含的项的系数是_用数字作答12在平行四边形中，对角线与交于点，那么_13设，那么的值是_14是定义域为的偶函数，当时，那么，不等式的解集是_15设为平面内的个点，在平面内的所有点中，假设点到点的距离之和最小，那么称点为点的一个“中位点例如，线段上的任意点都是端点的中位点那么有以下命题：假设三个点共线，在线AB上，那么是的中位点；直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；假设四个点共线，那么它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_写出所有真命题的序号数学社区三、解答题：本大题共6小题，共75分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤16(本小题总分值12分)在等差数列中，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和17(本小题总分值12分) 在中，角的对边分别为，且求的值；假设，求向量在方向上的投影18(本小题总分值12分)某算法的程序框图如下列图，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数以下是甲、乙所作频数统计表的局部数据运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数甲的频数统计表局部 乙的频数统计表局部运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率用分数表示，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望19(本小题总分值12分)如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段的中点在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；设中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值20(本小题总分值13分)椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点求椭圆的离心率；设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程21(本小题总分值14分)函数，其中是实数设，为该函数图象上的两点，且指出函数的单调区间；假设函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；假设函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围参考答案一、 选择题：此题考查根本概念和根本运算.每题5分，总分值50分.1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A二、填空题：此题考查根底知识和根本运算.每题5分,总分值25分.11.10 12.2 13. 14. 15.三、解答题:共6小题,共75分.16.解：设该数列公差为,前项和为.由,可得.所以,解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前项和或. .12分17.解：由,得,即,那么,即. . 5分由,得,由正弦定理,有,所以,.由题知,那么,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为. .12分18.解：.变量x是在1,2,3，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故;当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故. 3分当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：输出的值为的频率输出的值为的频率输出的值为的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. 7分3随机变量可能饿取值为0,1,2,3.故的分布列为所以即的数学期望为1. 12分19.解：如图,在平面内,过点做直线/,因为在平面外,在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,/平面.由,是的中点,所以,那么直线.因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. .6分解法一:连接,过作于,过作于,连接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,那么.所以平面,那么.故为二面角的平面角(设为).设,那么由,有,.又为的中点,所以为的中点,且,在中,;在中,.从而,所以.所以.故二面角的余弦值为. 12分解法二:设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).那么,.因为为的中点,所以分别为的中点, 故,所以,.设平面的一个法向量为,那么即故有从而取,那么,所以.设平面的一个法向量为,那么即故有从而取,那么,所以.设二面角的平面角为,又为锐角,那么.故二面角的余弦值为. 12分20解：所以，.又由，,所以椭圆C的离心率4分由知椭圆C的方程为.设点Q的坐标为(x,y).(1)当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于两点，此时点坐标为(2) 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.因为在直线上，可设点的坐标分别为，那么. 又由，得，即将代入中，得由得.由可知代入中并化简，得因为点在直线上，所以，代入中并化简，得.由及，可知,即.又满足，故.由题意，在椭圆内部，所以，又由有且，那么.所以点的轨迹方程是，其中，.13分21解：函数的单调递减区间为，单调递增区间为，由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有.当时，对函数求导，得.因为，所以，所以.因此当且仅当=1，即时等号成立.所以函数的图象在点处的切线互相垂直时，的最小值为17分当或时，故.当时，函数的图象在点处的切线方程为，即当时，函数的图象在点处的切线方程为，即.两切线重合的充要条件是由及知，.由得，.设，那么.所以是减函数.那么，所以.又当且趋近于时，无限增大，所以的取值范围是.故当函数的图像在点处的切线重合时，的取值范围是.14分