2022年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(四川卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学〔文史类〕
第一卷〔选择题 共50分〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．设集合，集合，那么〔 〕
〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕
2．一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体可以是〔 〕
〔A〕棱柱 〔B〕棱台〔C〕圆柱 〔D〕圆台
3．如图，在复平面内，点表示复数，那么图中表示的共轭复数的点是〔 〕
〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕
4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．假设命题，那么〔 〕
〔A〕 〔B〕
〔C〕 〔D〕
5．抛物线的焦点到直线的距离是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
6．函数的局部图象如下列图，那么的值分别是〔 〕
〔A〕〔B〕〔C〕 〔D〕
7．某学校随机抽取个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如下列图．以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方图是〔 〕
8．假设变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，那么的值是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
9．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且〔是坐标原点〕，那么该椭圆的离心率是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
10．设函数〔，为自然对数的底数〕．假设存在使成立，那么的取值范围是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
第二卷〔非选择题 共100分〕
二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共25分．
11．的值是_____．
12．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，那么______．
13．函数在时取得最小值，那么______．
14．设，，那么的值是________．
15．在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题总分值12分) 在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和．
17．(本小题总分值12分) 在中，角的对边分别为，且
．
〔Ⅰ〕求的值；
〔Ⅱ〕假设，，求向量在方向上的投影．
18．(本小题总分值12分)
某算法的程序框图如下列图，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．
〔Ⅰ〕分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；
〔Ⅱ〕甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的局部数据．
当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率〔用分数表示〕，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
19．(本小题总分值12分)
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．
〔Ⅰ〕在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
〔Ⅱ〕设〔Ⅰ〕中的直线交于点，求三棱锥的体积．〔锥体体积公式：，其中为底面面积，为高〕
20．(本小题总分值13分)
圆的方程为，点是坐标原点．直线与圆交于两点．
〔Ⅰ〕求的取值范围；
〔Ⅱ〕设是线段上的点，且．请将表示为的函数．
21．(本小题总分值14分)
函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．
〔Ⅰ〕指出函数的单调区间；
〔Ⅱ〕假设函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；
〔Ⅲ〕假设函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．B
4．C
5．D
6．A
7．A
8．C
9．C
10．A
11．1
12．2
13．36
14．
15．〔2,4〕
16．解：设的公比为q．由可得
，，
所以，，解得 或 ，
由于。因此不合题意，应舍去，
故公比，首项．
所以，数列的前项和．……………………………………… 12分
17．解：〔Ⅰ〕由 得
，
那么 ，即
又，那么 ．……………………………………… 5分
〔Ⅱ〕由正弦定理，有 ，所以，
由题知，那么 ，故．
根据余弦定理，有 ，
解得 或 〔负值舍去〕，
向量在方向上的投影为．…………………………… 12分
18．解：〔Ⅰ〕变量是在这个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．
当从这12个数中产生时，输出y的值为1，故；
当从这8个数中产生时，输出y的值为2，故；
当从这4个数中产生时，输出y的值为3，故．
所以输出的值为1的概率为，输出的值为2的概率为，输出的值为3的概率为．
……………………………………… 6分
〔Ⅱ〕当时，甲、乙所编程序各自输出的值为的频率如下，

输出的值为1的频率
输出的值为2的频率
输出的值为3的频率
甲

乙

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大．
……………………………………… 12分
19．解：〔Ⅰ〕如图，在平面ABC内，过点作直线，因为在平面外，BC在平面内，由直线与平面平行的判定定理可知，平面．
由，，是BC中点，所以BC⊥AD，那么直线，
又因为底面，所以，
又因为AD，在平面内，且AD与相交，
所以直线平面．……………………………………… 7分
〔Ⅱ〕过D作于E，因为平面，所以，
又因为AC，在平面内，且AC与相交，所以平面，
由，∠BAC，有，∠DAC，
所以在△ACD中，，
又，所以
因此三棱锥的体积为．……………………………………… 12分
20．解：〔Ⅰ〕将代入得 那么，〔*〕
由得 ．
所以的取值范围是．…………………………… 4分
〔Ⅱ〕因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为，，那么
，，又，
由得，，
所以
由〔*〕知 ，，
所以 ，
因为点Q在直线l上，所以，代入可得，
由及得 ，即 ．
依题意，点Q在圆C内，那么，所以 ，
于是，n与m的函数关系为 〔〕
…………………………… 13分
21．解：〔Ⅰ〕函数的单调减区间为，单调增区间为，．…………………………… 3分
〔Ⅱ〕由导数的几何意义知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，
故当点处的切线互相垂直时，有，
当x<0时，
因为，所以 ，所以，，
因此，
〔当且仅当，即且时等号成立〕
所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有．
…………………………… 7分
〔Ⅲ〕当或时，，故．
当时，的图象在点处的切线方程为
即 ．
当时，的图象在点处的切线方程为
即 ．
两切线重合的充要条件是，
由①及知，，
由①、②得 ，
令，那么，且
设，那么
所以为减函数，那么，
所以，
而当且t趋向于0时，无限增大，
所以的取值范围是．
故当函数的图象在点处的切线重合时，的取值范围是．
…………………………… 14分