2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本卷须知:
1. 本试卷分为两局部, 第一局部为选择题，第二局部为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一局部(共50分)
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕
1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 那么为
(A) [－1,1] (B) (－1,1)
(C)(D)
【答案】D
【解析】,所以选D
输入x
If x≤50 Then
y=0.5 * x
Else
y=25+0.6*(x-50)
End If
输出y
2. 根据以下算法语句, 当输入x为60时,
输出y的值为
(A)25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
【答案】C
【解析】,所以选C
3. 设a, b为向量, 那么“〞是“a//b〞的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
假设,为真；
相反，假设，那么。
所以“〞是“a//b〞的充分必要条件。
另：当为零向量时，上述结论也成立。所以选C

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
【答案】B

(A)(B)
(C)(D)
【答案】A
【解析】该地点信号的概率=
所以该地点无信号的概率是。选A
6. 设z1, z2是复数, 那么以下命题中的假命题是
(A) 假设, 那么(B)假设, 那么
(C) 假设, 那么(D) 假设, 那么
【答案】D
【解析】
对〔A〕，假设,那么，所以为真。
对〔B〕，假设,那么互为共轭复数，所以为真。
对〔C〕，设假设,那么，，所以为真
对〔D〕，假设那么为真，而，所以为假
选D
7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 假设, 那么△ABC的形状为
(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形 (D) 不确定
【答案】B
【解析】因为，所以
又。联立两式得。
所以。选B
8. 设函数 , 那么当x>0时, 表达式的展开式中常数项为
(A)－20 (B) 20 (C) －15 (D) 15
【答案】A
【解析】当的展开式中，常数项为。所以选A
9. 在如下列图的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影局部), 那么其边长x(单位m)的取值范围是
(A) [15,20] (B) [12,25]
(C) [10,30] (D) [20,30]
【答案】C
【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得:利用线性规划知识解得，选C
10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 那么对任意实数x, y, 有
(A) [－x] ＝ －[x] (B)[2x] ＝ 2[x]
(C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]
【答案】D
【解析】代值法。
对A, 设x = - 1.8,那么[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。
对B, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以B选项为假。
对C, 设x = y = 1.8, 对A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以C选项为假。
故D选项为真。所以选D
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕
11. 双曲线的离心率为, 那么m等于9.
【答案】9
【解析】
12. 某几何体的三视图如下列图, 那么其体积为.
【答案】
【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积
13. 假设点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 那么2x－y的最小值为-4.
【答案】- 4
【解析】封闭区域为三角形。令| x – 1 | = 2 , 解得 ，所以三角形三个顶点坐标分别为〔1,0,〕，〔-1,2〕，〔3,2〕，故2x－y 在点〔-1,2〕取最小值 - 4
14. 观察以下等式:
…
照此规律, 第n个等式可为.
【答案】
【解析】分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为。
当n为偶数时，分组求和：。
当n为奇数时，第n个等式=。
综上，第n个等式：
15. (考生请注意:请在以下三题中任选一题作答, 如果多做, 那么按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 那么(am＋bn)(bm＋an)的最小值为2.
【答案】2
【解析】利用柯西不等式求解，,且仅当
时取最小值 2
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. PD＝2DA＝2, 那么PE＝.
【答案】
【解析】
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 那么圆的参数方程为 .
【答案】
【解析】
。
所以圆的参数方程为
三、解答题: 解容许写出文字说明、证明过程及演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕
16. (本小题总分值12分)
向量, 设函数.
(Ⅰ)求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ). (Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)
=。
最小正周期。
所以最小正周期为。
(Ⅱ).
.
所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为.
17. (本小题总分值12分)
设是公比为q的等比数列.
(Ⅰ) 导的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见下；
【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。
①
②.
上面两式错位相减:
。
③综上，
(Ⅱ) 使用反证法。
设是公比q≠1的等比数列, 假设数列是等比数列.那么
①当=0成立，那么不是等比数列。
②当成立，那么
。这与题目条件q≠1矛盾。
③综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当q≠1时, 数列不是等比数列。〔证毕〕
18. (本小题总分值12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ)证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.
【答案】(Ⅰ)见下; (Ⅱ) =
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.
【解析】
(Ⅰ) ；又因为，在正方形AB CD中，。
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
.(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题。
以O为原点，以OC为X轴正方向，以OB为Y轴正方向。那么
.
由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量
设平面OCB1的法向量为
。
所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为
19. (本小题总分值12分)
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P

数学期望
【解析】(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。
所以P(A) = .
因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，那么X可取0,1,2,3.
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为。
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = .
当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X = 1) = .
当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X = 2) = .
当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X =3) = .
X的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P

所以，数学期望
20. (本小题总分值13分)
动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 假设x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 定点〔1,0〕
【解析】(Ⅰ) A(4,0),设圆心C
(Ⅱ)点B(－1,0), .
直线PQ方程为：
所以，直线PQ过定点〔1,0〕
21. (本小题总分值14分)
函数.
(Ⅰ) 假设直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ) 当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点；
(Ⅲ) >
【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数. 设直线y＝kx＋1与相切与点 。所以
(Ⅱ) 当 x > 0，m > 0 时， 曲线y＝f (x) 与曲线的公共点个数即方程 根的个数。
由，
那么 h(x)在
h(x).
所以对曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数，讨论如下：
当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点；
(Ⅲ) 设
令。
，且
。
所以