2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷).docx

2022北京高考理科数学试题第一局部选择题共40分一、 选择题共8小题。每题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。1.集合A=1，0，1，B=x|1x1，那么AB= ( )A.0 B.1，0 C.0，1 D.1,0,12.在复平面内，复数(2i)2对应的点位于( )A.第一象限 B. 第二象限C.第三象限 D. 第四象限3.“=是“曲线y=sin(2x)过坐标原点的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如以下图的程序框图，输出的S值为开始是否输出结束A.1 B. C. D.5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，那么f(x)=A. B. C. D. 6.假设双曲线的离心率为，那么其渐近线方程为A.y=2x B.y= C. D.7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，那么l与C所围成的图形的面积等于A. B.2 C. D.8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y0=2，求得m的取值范围是A. B. C. D. 第二局部非选择题共110分二、填空题共6题，每题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，)到直线sin=2的距离等于.10.假设等比数列an满足a2a4=20，a3a5=40，那么公比q=；前n项和Sn=.11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.假设PA=3，那么PD=；AB=.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全局部给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如以下图.假设c=ab(，R)，那么=.14.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程15. (本小题共13分)在ABC中，a=3，b=2，B=2A.(I)求cosA的值；(II)求c的值.16.(本小题共13分)以下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.求此人到达当日空气重度污染的概率;设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大结论不要求证明17. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.求证：AA1平面ABC；求二面角A1BC1B1的余弦值；证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.18. (本小题共13分)设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.19. (本小题共14分)A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.20. (本小题共13分)an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，,的最小值记为Bn，dn=AnBn。(I)假设an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；(II)设d为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；(III)证明：假设a1=2，dn=1(n=1,2,3，)，那么an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.参考答案一、 选择题：1.B2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C二、填空题：9.110.2，11.；412.9613.414.三.解答题：15.解：I因为a=3，b=2，B=2A.所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故.(II)由I知，所以.又因为B=2A,所以.所以.在ABC中，.所以.16.解：设表示事件“此人于3月日到达该市=1,2，13.根据题意, ,且.I设B为事件“此人到达当日空气重度污染，那么,所以.(II)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X=1)=P(A3A6A7A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,P(X=2)=P(A1A2A12A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,P(X=0)=1P(X=1)P(X=2)= ,所以X的分布列为：故X的期望.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.解：I因为AA1C1C为正方形，所以AA1 AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(II)由I知AA1 AC，AA1 AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以ABAC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A,那么B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，设平面A1BC1的法向量为，那么,即，令，那么，所以.同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(III)设D是直线BC1上一点，且. 所以.解得，.所以. 由，即.解得.因为，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.18.解: I设，那么.所以.所以L的方程为.(II)令，那么除切点之外，曲线C在直线的下方等价于. 满足，且.当时，所以，故单调递减；当时，所以，故单调递增.所以，.所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.又解：即变形为，记，那么，所以当时，在0,1上单调递减；当时，在1，+上单调递增。所以.19.解：I椭圆W：的右顶点B的坐标为2,0.因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A1，代入椭圆方程得，即. 所以菱形OABC的面积是.(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为.由消去并整理得.设A,C，那么，.所以AC的中点为M，.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.因为，所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.20.I(II)(充分性)因为是公差为的等差数列，且，所以因此，,.(必要性)因为，所以.又因为，,所以. 于是，.因此，即是公差为的等差数列.(III)因为，所以，.故对任意.假设中存在大于2的项.设为满足的最小正整数，那么，并且对任意，.又因为，所以，且.于是，.故,与矛盾.所以对于任意，有，即非负整数列的各项只能为1或2.因此对任意，所以. 故.因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列有无穷多项为1.