2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷).docx

2022北京高考理科数学试题
第一局部〔选择题共40分〕
一、 选择题共8小题。每题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。
1.集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，那么A∩B= ( )
A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}
2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限C.第三象限 D. 第四象限
3.“φ=π〞是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的〞
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.执行如以下图的程序框图，输出的S值为
开始
是
否

输出
结束

A.1 B. C. D.
5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，那么f(x)=
A. B. C. D.
6.假设双曲线的离心率为，那么其渐近线方程为
A.y=±2x B.y= C. D.
7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，那么l与C所围成的图形的面积等于
A. B.2 C. D.
8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是
A. B. C. D.
第二局部〔非选择题共110分〕
二、填空题共6题，每题5分，共30分.
9.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于.
10.假设等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，那么公比q=；前n项和Sn=.
11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.假设PA=3，，那么PD=；AB=.
12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全局部给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.
13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如以下图.假设c=λa＋μb(λ，μ∈R)，那么=.
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.
三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程
15. (本小题共13分)
在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.
(I)求cosA的值；(II)求c的值.
16.(本小题共13分)
以下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
〔Ⅰ〕求此人到达当日空气重度污染的概率;
〔Ⅱ〕设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;
〔Ⅲ〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大〔结论不要求证明〕
17. (本小题共14分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.
〔Ⅰ〕求证：AA1⊥平面ABC；
〔Ⅱ〕求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
〔Ⅲ〕证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.
18. (本小题共13分)
设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.
(I)求L的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.
19. (本小题共14分)
A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;
(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
20. (本小题共13分)
{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn。
(I)假设{an}为2，1，4，3，2，1，43，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；
(III)证明：假设a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，那么{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
参考答案
一、 选择题：
1.B
2.D
3.A
4.C
5.D
6.B
7.C
8.C
二、填空题：
9.1
10.2，
11.；4
12.96
13.4
14.
三.解答题：
15.解：〔I〕因为a=3，b=2，∠B=2∠A.所以在△ABC中，由正弦定理得.所以.故.
(II)由〔I〕知，所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.
在△ABC中，.
所以.
16.解：设表示事件“此人于3月日到达该市〞〔=1,2，…，13〕.
根据题意, ,且.
〔I〕设B为事件“此人到达当日空气重度污染〞，那么,
所以.
(II)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,
P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,
P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)=
所以X的分布列为：
故X的期望.
(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
17.解：
〔I〕因为AA1C1C为正方形，所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
(II)由〔I〕知AA1 ⊥AC，AA1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－,那么B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，
设平面A1BC1的法向量为，那么,即，
令，那么，，所以.
同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.
(III)设D是直线BC1上一点，且. 所以.解得，，.
所以.
由，即.解得.
因为，所以在线段BC1上存在点D，
使得AD⊥A1B.
此时，.
18.解: 〔I〕设，那么.所以.所以L的方程为.
(II)令，那么除切点之外，曲线C在直线的下方等价于. 满足，且.
当时，，，所以，故单调递减；
当时，，，所以，故单调递增.
所以，〔〕.
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.
又解：即变形为，记，那么，
所以当时，，在〔0,1〕上单调递减；
当时，，在〔1∞〕上单调递增。
所以.〕
19.解：〔I〕椭圆W：的右顶点B的坐标为〔2,0〕.因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A〔1，〕，代入椭圆方程得，即. 所以菱形OABC的面积是.
(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为.
由消去并整理得.
设A,C，那么，.
所以AC的中点为M〔，〕.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.
因为，所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形，与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.
20.〔I〕
(II)(充分性)因为是公差为的等差数列，且，所以
因此，,.
(必要性)因为，所以.
又因为，,所以. 于是，.
因此，即是公差为的等差数列.
(III)因为，所以，.故对任意.
假设中存在大于2的项.
设为满足的最小正整数，那么，并且对任意，.
又因为，所以，且.
于是，.
故,与矛盾.
所以对于任意，有，即非负整数列的各项只能为1或2.
因此对任意，，所以. 故.
因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列有无穷多项为1.