2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(江苏卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试 〔江苏卷〕
数学Ⅰ
本卷须知
绝密★启用前
考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题〔第1题～第20题，共20题〕.本卷总分值为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1. 函数的最小正周期为▲.
解析：
2. 设(i为虚数单位)，那么复数的模为▲.
解析：
3. 双曲线的两条渐近线的方程为▲ .
解析：
Y
N
输出n
开始
结束
〔第5题〕
4. 集合共有▲个子集.
解析：〔个〕
5. 右图是一个算法的流程图，那么输出的的值是 ▲
解析：经过了两次循环，n值变为3
6. 抽样统计甲，乙两位射击运发动的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运发动
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
那么成绩较为稳定(方差较小)的那位运发动成绩的方差为▲.
解析：易知均值都是90，乙方差较小，
7. 现有某类病毒记作，其中正整数可以任意选取，那么都取到奇数的概率为▲ .
解析：
可以取的值有：共个
可以取的值有：共个
所以总共有种可能
符合题意的可以取共个
符合题意的可以取共个
所以总共有种可能符合题意
所以符合题意的概率为
8. 如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，那么▲ .
解析：

所以
9. 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界).假设点是区域内的任意一点，那么的取值范围是▲ .
解析：
易知切线方程为：
所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为
易知过C点时有最小值，过B点时有最大值0.5
10. 设分别是的边上的点，,,假设(为实数)，那么的值为▲.
解析：
易知
所以
11. 是定义在上的奇函数.当时，，那么不等式的解集用区间表示为▲ .
解析：
因为是定义在上的奇函数，所以易知时，
解不等式得到的解集用区间表示为
12. 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为,右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.假设，那么椭圆的离心率为▲ .
解析：
由题意知
所以有 两边平方得到，即
两边同除以得到，解得，即
13. 平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，假设点之间最短距离为，那么满足条件的实数的所有值为▲ .
解析：
由题意设 那么有
令
那么
对称轴
1.时，
， 〔舍去〕
2.时，
， 〔舍去〕
综上或
14. 在正项等比数列中，，.那么满足的最大正整数的值为▲ .
解析：
又时符合题意，所以的最大值为
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.〔本小题总分值14分〕
，，.
(1) 假设，求证：；
(2) 设，假设，求，的值.
解：(1)
(2)
得：
又
16. 〔本小题总分值14分〕
如图，在三棱锥中，平面平面，,. 过作，垂足为，点,分别是侧棱,的中点.
求证：(1) 平面平面;
(2) .
解：(1)分别是侧棱的中点
在平面中，在平面外
平面
为中点
在平面中，在平面外
平面
与相交于
在平面中
平面平面
(2)平面平面
为交线
在中，
平面
与相交于
在平面中
平面
17. 〔本小题总分值14分〕
如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.
(1) 假设圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2) 假设圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
解：〔1〕
①与②联立得到圆心坐标
圆方程为
切线斜率不存在时，不合题意
设切线方程为
解得或
切线方程为或
〔2〕设
那么圆方程为
设
由题意
即
存在
圆与圆有交点
即两圆相交或相切
即
18. 〔本小题总分值16分〕
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径. 一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.
现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m，经测量，，.
(1) 求索道的长；
(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短
(3) 为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内
解：(1)
(2)
设乙出发分钟后，甲到了处，乙到了E处
那么有
根据余弦定理
即
当时，有最小值
(3) 设甲所用时间为，乙所用时间为，乙步行速度为
由题意
解不等式得
19. 〔本小题总分值16分〕
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和. 记，，其中为实数.
(1) 假设，且，，成等比数列，证明：；
(2) 假设是等差数列，证明：.
解：
〔1〕
时，
成等比
〔2〕
由
是等差数列
设〔k,b为常数〕
有对任意恒成立
此时
命题得证
20. 〔本小题总分值16分〕
设函数，，其中为实数.
(1) 假设在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；
(2) 假设在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
解：〔1〕
由题意：对恒成立
即对恒成立
在上有最小值
时，恒成立，在无最值
时，由题意
综上：的范围是：
〔2〕在上是单调增函数
对恒成立
即对恒成立
令，那么
那么有的零点个数即为与图像交点的个数
令
那么
易知在上单调递增，在上单调递减
在时取到最大值
当时，
当时，
图像如下
所以由图可知：时，有1个零点
时，有2个零点
时，有1个零点
综上所述：或时，有1个零点
时，有2个零点