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3.1 函数与方程
互动课堂
疏导引导
３．１．１方程的根与函数的零点
1．函数零点的概念
对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数 x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点．
2.函数零点的意义
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x轴有交点函数y=f(x)有零点．
３．函数零点存在的条件
如果函数f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(x)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
4．函数零点的求法
求函数y=f(x)的零点：
（1）代数法：求方程f(x)=0的解；
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点．
5.函数零点的意义
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点．
●案例1函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )
A. (1, 2)
B. (2, 3)
C. (, 1)和（3,4）
D. (e, +∞)
【探究】 从已知的区间（a, b），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)·f(b)<0.
∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，所以A不对.
又f(3)=ln3->0，
∴f(2)·f（3）<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点.
【答案】 B
【溯源】 这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间［a, b］的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间，则需取区间［a, b］使f(a)f(b)<0.
●案例2 二次函数y=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A. 1
B. 2
C. 0
D. 无法确定
【探究】 ∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a与f(0)异号,即或
∴函数必有两个零点.
【答案】 B
【溯源】 判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.
6. 二次函数的图象与性质
（1）定义:函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数.它的定义域为R.
（2）二次函数具有如下一些主要性质:
y=ax2+bx+c(a≠0)
=a(x+)2+
=a(x-h)2+k.
其中h=-,k=.
函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h, k),抛物线的对称轴是直线x=h;
当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=h处取得最小值k=f(h);在区间(-∞,h］上是减函数,在［h,+∞)上是增函数.
当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=h处取得最大值k=f(h);在区间(-∞,h］上是增函数,在［h,+∞)上是减函数.
（3）二次函数的三种常用解析式：
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式：y=a(x-h) 2+k(a≠0),其中（h, k)为顶点坐标.
③标根式：f(x)=a(x-α)(x-β)(a≠0),其中α和β是方程f(x)=0的根.
疑难疏引 于二次方程的根的分布问题，画出图象后，根据二次函数相应特征列不等式（组），往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如下几种情况：
根的分布
x1<x2<k
k<x1<x2
x1<k<x2
图象
充要条件
f(k)<0
根的分布
x1、x2∈(k1,k2)
k1<x1<k2<x2<k3
在(k1,k2)内有且仅有一根
图象
充要条件
f(k1)f(k2)<0或者Δ=0且∈(k1,k2)
3．1．2用二分法求方程的近似解
1.二分法的定义
对于在区间[a, b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法.
2.二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
（1）确定区间 ［a, b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.
（2）求区间(a, b)的中点 x1.
（3）计算f(x1).若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)·f(x1)<0，则取区间(a,x1)（此时零点 x0∈(a,x1)）；若f(x1)·f(b)<0，则取区间(x1,b)（此时零点x0∈(x1,b)）.
（4）判断是否达到精度ε,即若 |a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤(2)～(4).
3.借助于函数方程思想用二分法求方程的近似解的意义
解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的，对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3－x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.
记忆口诀：
函数连续值两端，相乘为负有零点，
区间之内有一数，方程成立很显然.
要求方程近似解，先看零点的区间，
每次区间分为二，分后两端近零点.
●案例 某电器公司生产A种型号的家庭电脑.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求
（1）2000年每台电脑的生产成本；
（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.
【探究】 第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算,也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器.
（1）设2000年每台电脑的成本为p元，根据题意，得
p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p＝3 200（元）.
故2000年每台电脑的生产成本为3200元.
（2）设1996～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x，根据题意，得
5000（1－x）4=3200（0＜x＜1）.
令f（x）=5 000（1－x）4－3 200，作出x、f（x）的对应值表，如下表:
x
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
F(x)
1800
-590
-2000
-2742
-3072
-3180
-3200
-3200
观察上表，可知f（0）·f（0.15）＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x 0.
取区间（0，0.15）的中点x 1=0.075，用计算器可算得f（0.075）≈460.因为f（0.075）·f（0.15）＜0，所以x 0∈（0.075，0.15）.
再取（0.075，0.15）的中点x 2=0.112 5，用计算器可算得f（0.112 5）≈－98.因为
f（0.075）·f（0.112 5）＜0，所以x 0∈（0.075，0.112 5）.
同理，可得x 0∈（0.009 375，0.112 5），x 0∈（0.103 125，0.112 5），x 0∈（0.103 125，0.107 812 5），x 0∈（0.105 468 75，0.107 812 5）.
由于|0.107 812 5－0.105 468 75|＝0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.
1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.
【溯源】 降低成本提高效率的问题应注意：成本+利润＝出厂价；利润＝成本×利润率.熟悉二分法的解题步骤，虽然比较繁杂，但是可以体会到“逐步逼近”的数学思想.
活学巧用
1. 判断方程logx=x的根的个数.
【思路解析】 在同一坐标系内作出函数f（x）=logx和g（x）=x的图象,如下图所示，通过比较函数的增长速度，利用函数图象交点的个数，求得方程解的个数.
【答案】 f（1）=0，f（）=1，f（）=2，f（）=4.
g（1）=1，g（）=，g（）=，g（）=.
f［（）12］=12，f［（）14］=14.
g［（）12］=（）6≈11.39，g［（）14］=（）7≈17.09.
通过计算（用计算器），可知在区间［,］和区间［(）12，（）14］内，函数图象各有一个交点，从而方程在两个区间内各有一个根.
2. 利用函数的图象，指出函数f（x）=2x·ln（x－2）－3零点所在的大致区间.
【思路解析】 首先对x取值来寻找y值的符号，然后判断零点所在的大致区间.
【解】 用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表（如下表）.
x
2.5
3
3.4
4
4.5
5
f(x)
-6.4657
-3
-0.1617
2.5452
5.2466
7.9861
由上表和上图可知该函数零点的大致区间为[3, 4]
3. 求函数f（x）=2x 3－3x+1零点的个数.
【思路解析】 先用计算机或计算器作出f（x）的对应值表，然后根据函数零点的判定方法来判定函数的零点.
【解】 用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表（如下表）和图象（如下图).
X
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(x)
-1.25
2
2.25
1
-0.25
0
3.25
由上表和上图可知，f（－1.5）＜0，f（－1）＞0，即f（－1.5）·f（－1）＜0，说明这个函数在区间（－1.5，－1）内有零点.同理，它在区间（0，0.5）内也有零点.另外，f（1）=0，所以1也是它的零点.由于函数f（x）在定义域（－∞，－1.5）和（1，+∞）内是增函数，所以它共有3个零点.
4. 已知二次函数f(x)=ax2+(a2+b)x+ c的图象开口向上，且f(0)=1，f(1)=0，则实数b的取值范围是( )
A. (-∞, - ］
B. ［-, 0)
C. ［0, +∞)
D. (-∞,-1)
【思路解析】 考察二次函数图象的特点,依题意得
整理得a2+a+b+1=0，解得a=.
∵图象开口向上，∴ a>0，
∴a=>0.解得b<-1.
∵二次函数
f(x)=ax2+(a2+b)x+ c的图象过点（0，1）和点（1，0），又∵图象开口向上，
∴点（0，1）必须在抛物线对称轴的左侧，即抛
物线的对称轴在点（0，1）的右侧，即y轴的右侧，即 x=->0，
∴ a2+b<0,当b<-1时，a2+b<0恒成立.
∴ b<-1.因此，选D
【答案】 D
5. 若方程x2+(m-3)x+ m=0两个根都小于1，求m的范围.
【思路解析】 画出图象，根据图象特征，可列出不等式组，从而得出结论.
【解】 令f(x)=x2+(m-3)x+m，
则{m|m≥9}.
6. (2005全国,19)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）.
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式.
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.
【思路解析】 此题考查二次函数解析式求法以及最大值的求法.
【答案】 （1）f(x)=-x2-x-.
（2）(-∞,-2-)∪(-2+,0).
7. 求方程lnx+x-3=0在（2，3）内的根（精确到0.1）.
【分析】 用二分法求解.
【解】 令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在（2，3）内的零点.
∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,
∴可取（2，3）作为初始区间，用二分法列表如下：
中点
端点或中点函数值
取区间
f（2）<0,f(3)>0
(2,3)
2.5
f(2.5)>0
（2，2.5）
2.25
f(2.25)>0
（2，2.25）
2.125
f(2.125)<0
（2.125，2.25）
2.1875
f(2.187 5)<0
（2.187 5，2.25）
2.21875
f(2.218 75)>0
（2.187 5，2.218 75）
2.187 5≈2.2,2.218 75≈2.2,
∴所求方程的根为2.2（精确到0.1）.
8. 国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购m万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.
（1）写出税收f（x）（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x的值.
【思路解析】 第（1）问这样考虑：调节税率后税率为（8－x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元，从而列出函数表达式.
【解】 （1）由题设，调节税率后税率为（8－x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元.f（x）=120m（1+2x%）（8－x）%，
即f（x）=－（x 2+42x－400）（0＜x≤8）.
（2）计划税收为120m·8%万元，由题设，有f（x）=120m·8%·78%，
即x 2+42x－88=0（0＜x≤8)，解得x=2.
9. 求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.01）.
【思路解析】 利用二分法.
【解】 原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，并结合y=2x与y=-3x+7的图象知方程f(x)=0只有一解.计算
f(1)=2+3-7<0,f(2)=22+3×2-7=3×2-7+4=3，可知x0∈(1,2).取区间（1，2）
的中点x1=1.5，用计算器可得f(1.5)≈0.33>0；再取（1，1.5）的中点x2=1.25，
f(1.25)≈-0.87<0.
∵f(1.25)f(1.5)<0,
∴x0∈(1.25).
同理可求得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.437 5)，此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4.∴原方程的精确到0.1的近似解为1.4.
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