2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：3.1函数与方程互动课堂学案-.doc

3.1 函数与方程互动课堂疏导引导方程的根与函数的零点1函数零点的概念对于函数y=f(x)(xD)，把使f(x)=0的实数 x叫做函数y=f(x)(xD)的零点2.函数零点的意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点存在的条件如果函数f(x)在区间a, b上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(x)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.4函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：（1）代数法：求方程f(x)=0的解；（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点5.函数零点的意义函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点案例1函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是()A. (1, 2)B. (2, 3)C. (, 1)和（3,4）D. (e, +)【探究】 从已知的区间（a, b），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)f(b)0.f(1)=-20,f(2)=ln2-10，f(2)f（3）0.f(x)在(2,3)内有一个零点.【答案】 B【溯源】 这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间a, b的端点值的乘积是否有f(a)f(b)0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间，则需取区间a, b使f(a)f(b)0.案例2 二次函数y=ax2+bx+c中，ac0，则函数的零点个数是()A. 1B. 2C. 0D. 无法确定【探究】 c=f(0),ac=af(0)0、=0、0时,抛物线开口向上,函数在x=h处取得最小值k=f(h);在区间(-,h上是减函数,在h,+)上是增函数.当a0时,抛物线开口向下,函数在x=h处取得最大值k=f(h);在区间(-,h上是增函数,在h,+)上是减函数.（3）二次函数的三种常用解析式：一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0).顶点式：y=a(x-h) 2+k(a0),其中（h, k)为顶点坐标.标根式：f(x)=a(x-)(x-)(a0),其中和是方程f(x)=0的根.疑难疏引于二次方程的根的分布问题，画出图象后，根据二次函数相应特征列不等式（组），往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如下几种情况：根的分布x1x2kkx1x2x1kx2图象充要条件f(k)0根的分布x1、x2(k1,k2)k1x1k2x2k3在(k1,k2)内有且仅有一根图象充要条件f(k1)f(k2)0或者=0且(k1,k2)312用二分法求方程的近似解1.二分法的定义对于在区间a, b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法.2.二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤（1）确定区间 a, b，验证f(a)f(b)0，给定精度.（2）求区间(a, b)的中点 x1.（3）计算f(x1).若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则取区间(a,x1)（此时零点 x0(a,x1)）；若f(x1)f(b)0，则取区间(x1,b)（此时零点x0(x1,b)）.（4）判断是否达到精度,即若 |a-b|0，a=0.解得b0， a2+b0,当b-1时，a2+b0恒成立. b-2x的解集为（1，3）.（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式.（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.【思路解析】 此题考查二次函数解析式求法以及最大值的求法.【答案】 （1）f(x)=-x2-x-.（2）(-,-2-)(-2+,0).7. 求方程lnx+x-3=0在（2，3）内的根（精确到0.1）.【分析】 用二分法求解.【解】 令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在（2，3）内的零点.f(2)=ln2-10,可取（2，3）作为初始区间，用二分法列表如下：中点端点或中点函数值取区间f（2）0(2,3)2.5f(2.5)0（2，2.5）2.25f(2.25)0（2，2.25）2.125f(2.125)0（2.125，2.25）2.1875f(2.187 5)0（2.187 5，2.218 75）2.187 52.2,2.218 752.2,所求方程的根为2.2（精确到0.1）.8. 国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购m万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.（1）写出税收f（x）（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x的值.【思路解析】 第（1）问这样考虑：调节税率后税率为（8x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元，从而列出函数表达式.【解】 （1）由题设，调节税率后税率为（8x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元.f（x）=120m（1+2x%）（8x）%，即f（x）=（x 2+42x400）（0x8）.（2）计划税收为120m8%万元，由题设，有f（x）=120m8%78%，即x 2+42x88=0（0x8)，解得x=2.9. 求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.01）.【思路解析】 利用二分法.【解】 原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，并结合y=2x与y=-3x+7的图象知方程f(x)=0只有一解.计算f(1)=2+3-70；再取（1，1.5）的中点x2=1.25，f(1.25)-0.870.f(1.25)f(1.5)0,x0(1.25).同理可求得x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.437 5)，此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4.原方程的精确到0.1的近似解为1.4.