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1.2.2 函数的表示法
课堂导学
三点剖析
一、函数的三种表示方法
【例1】 作出下列函数的图象：
（1）y=2-x,x∈Z;
（2）y=2x2-3x-2(x>0);
（3）y=
思路分析：作函数图象主要有两种思路：①利用列表描点法，②转化为基础函数，利用基本函数图象作复杂函数图象.
解：（1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=2-x上.如图1所示.
图1
（2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出y=2x2-3x-2的图象，然后截出需要的图象，如图2所示.
图2
(3)这个图象是由两部分组成的，当x≥1时，为双曲线y=的一部分，当x<1时，为抛物线y=x2的一部分，如图3所示.
图3
温馨提示
1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、线段、射线等，这要由定义域对应关系确定.
2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合的有力工具.
【例2】 由函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式.
思路分析：由于f(x)是一次函数，因此可设f(x)=ax+b(a≠0)，然后利用条件列方程(组)，再求系数.
解：f(x)是一次函数，设f(x)=ax+b(a≠0).由于3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
因此3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=ax+5a+b=2x+17,则得
即故函数解析式为f(x)=2x+7.
温馨提示
求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式，即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.
二、根据已知关系,写出函数的解析式
【例3】 在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如右图)，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.
思路分析：由于P点在折线BCDA上位置不同时，△ABP各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此这里要对P点位置进行分类讨论，由此y=f(x)很可能是分段函数.
解：如上图，当点P在线段BC上时，即0<x≤4,y=×4×x=2x;
当P点在线段CD上时，即4<x≤8,y=×4×4=8;
当P点在线段DA上时，即8<x<12,y=×4×(12-x)=24-2x.
∴y=f(x)=
且f(x)的定义域是(0,12).
温馨提示
分段函数作为一类重要的函数，其对应关系不能用统一的对应法则来表示，处理分段函数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系.
【例4】 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(2)已知f(x)满足af(x)+f()=ax(x∈R且x≠0,a为常数,且a≠±1),求f(x).
解：(1)解法一：令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
温馨提示
此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“+1”换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式.
解法二：x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,
∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).
温馨提示
此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的表达式，即变为关于+1的表达式.
(2)∵af(x)+f()=ax,将原式中的x与互换得af()+f(x)=,
于是得关于f(x)的方程组：
解得f(x)=(a≠±1).
温馨提示
本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式，在已知条件下，x满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样得到两个关于f(x)与f()的方程，因而才能解出f(x).
三、映射的概念
【例5】 下面的对应哪些是从集合M到集合N的映射？哪些是函数？
(1)设M=R，N=R，对应关系f:y=,x∈M;
(2)设M={平面上的点}，N={(x,y)|x,y∈R}，对应关系f:M中的元素对应它在平面上的坐标；
(3)设M={高一年级全体同学}，N={0,1}，对应关系f:M中的男生对应1，女生对应0;
(4)设M=R，N=R，对应关系f(x)=2x2+1,x∈M;
(5)设M={1,4，9}，N={-1,1，-2,2，3，-3}，对应关系：M中的元素开平方.
思路分析：判断一个对应是否构成映射，关键是看M中的任一元素在N中按照给定的对应关系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有M、N都是非空数集，且从M到N构成映射时，才能确定构成从M到N的函数；不是映射的，更不可能构成函数.
解：(1)M中的0在N中没有元素与之对应，从M到N的对应构不成映射.
(2)(3)都符合映射定义，能构成从M到N的映射，但由于M不是非空数集，因此构不成函数.
(4)从M到N的对应既能构成映射，又能构成函数.
(5)M中的元素在N中有两个元素与之对应，所以构不成映射.
温馨提示
1.映射概念中的两个集合A、B，它们可以是数集、点集或其他集合，而函数不同，A、B必须是非空数集.
2.A到B的映射与B到A的映射是不同的，同学们判断时应注意“方向性”否则会导致错误.
各个击破
类题演练1
作出下列函数的图象.
(1)y=x,|x|≤1;
(2)y=1-x,x∈Z且|x|≤2;
(3)y=;
解：(1)此函数图象是直线y=x的一部分.
(2)此函数的定义域为{-2，-1，0，1，2}，所以其图象是由五个点组成，这些点都在直线y=1-x上.(这样的点叫做整点)
（3）先求定义域，在定义域上化简函数式y==x,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).如下图所示.
变式提升1
设［x］是不超过x的最大整数，作下列函数的图象.
(1)f(x)=［x］;
(2)h(x)=x-［x］,x∈［-2,2］.
解：(1)f(x)=［x］=n(n≤x<n+1,n∈Z),即
f(x)=n(n≤x<n+1,n∈Z).
∴f(x)=［x］的图象是无数条线段，不包括线段的右端点.注意在x轴上的线段的端点是（0，0）、（1，0）.见下图（A）.
(2)h(x)=x-［x］ x∈［-2,2］化为
h(x)=
h(x)的图象是四条线段和点（2，0），注意均不含线段上面的端点，见下图（B）.
图（A）
图（B）
类题演练2
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
解析：①设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=1得c=1,而f(x+1)-f(x)=［a(x+1)2+b(x+1)+c］-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.
由已知f(x+1)-f(x)=2x得2ax+a+b=2x.所以解得a=1,b=-1.
故f(x)=x2-x+1.
变式提升2
求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.
思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，变为分段函数，再画出分段函数的图象，然后解之.
解:
作出函数图象如右上图,由图象可知x=0时,ymax=2.
类题演练3
国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.
（1）试根据上述规定建立某人所得稿费x(元)与纳税额y(元)之间的函数关系式；
（2）某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？
答案：（1）
（2）3 800
变式提升3
某商场因拆迁将库存的原价100元/套的时装50套作减价处理，规定：不超过5件按八五折(即原价的85%)；6件到20件(包含20件)按六五折；20件以上打五折.
（1）你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗？
（2）你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗？
答案：（1）y=
（2）y=
类题演练4
如果f()=,则f(x)=____________.
解法一:∵f()===,∴f(x)=.
解法二：设t=,则x=,
代入f()=,
得f(t)==,
故f(x)=.
变式提升4
已知f()=+,求f(x).
解法一：∵f()=+
=()2-+=()2-=()2-+1,
∴f(x)=x2-x+1.
解法二：设=u,
则x=,u≠1.
则f(u)=f()=+=1++=1+(u-1)2+(u-1).
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
温馨提示
解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x”而言，“f”是怎样的对应规律.
类题演练5
（1）下列对应是从A到B的函数的是（ ）
①A={x|x≥0,x∈R},B=R,f:x→y2=x ②A=N,B={-1,1},f:x→(-1)x ③A={三角形}，B={圆}，f:三角形→三角形的外接圆 ④A=R,B=R,f:x→y=x3
A.②④ B.② C.④ D.①②④
答案：A
（2）f:A→B是集合A到集合B的映射，A=B={(x,y)|x∈R，y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b)，若B中的元素（6，2），在此映射下的原象是（3，1），则k=_____________,b=______________.
解析：由
答案：2 1
变式提升5
已知集合A={a|a<5,a∈N}到集合B的对应法则是“乘3加2”，集合B到集合C的对应法则是“求算术平方根”.
（1）试写出集合A到集合C的对应法则f;
（2）求集合C；
（3）集合A到集合C的对应是映射吗？
解析：（1）设x∈A,y∈B,z∈C,依题意y=3x+2,z=,∴z=,
∴从集合A到集合C的对应法则是f:x→z=.
（2）∵A={a|a<5,a∈N}={0,1,2,3,4},
∴C={,,2,,}.
(3)因为对于集合A内任一元素x在集合C中都有唯一的一个元素z与之对应，所以A到C的对应法则f是A到C的映射.
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