2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：3.2.2函数模型应用举例课堂导学案-.doc

3.2.2 函数模型应用举例
课堂导学
三点剖析
一、函数模型的确定
【例1】 以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数y=ax+b,y=alnx+b,y=a·bx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175 cm，体重为78 kg，他的体重是否正常？
思路分析：可先根据表中的数据，描点画出函数图象（散点图），再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定常数，最后将表中的身高数据代入求得的解析式，看所得的函数值是否与已知体重数据基本吻合.
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，如右图.根据点的分布特征可考虑用函数y=a·bx反映上述数据之间的对应关系.

把x=70,y=7.90和x=170,y=55.05两组数据分别代入y=a·bx，
得
解得a≈2，b≈1.02,
故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系式可选取为y=2×1.02x.
将已知数据代入所得函数解析式，可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）把x=175代入y=2×1.02x，
得y=2×1.02175≈63.98.
∵78÷63.98≈1.22＞1.2，∴这名男生体重偏胖.
二、数学模型的应用
【例2】 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示:
月份
用气量
煤气费
1
4 m3
4元
2
25 m3
14元
3
35 m3
19元
该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量A m3,那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元;若用气量超过A m3,那么超出部分付超额费,每立方米为B元,又知保险费C不超过5元,试根据上述条件及数据求A、B的值.
思路分析:关键在于找出煤气费与用量间的函数关系，这显然是一分段函数.
解:设月用气量为x m3,支付的煤气费为y元,依题意有，

∵0＜C≤5,
∴3＜3+C≤8.
∴二、三月份煤气费满足

若一月份用气超过A m3,则4＞A,
∴4=3+0.5(4-A)+C,这不可能.
∴4=3+C，C=1,B=,A=5.
温馨提示
解决实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际问题转化成相应的函数来解决.函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型.并利用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测，在用函数模型解决实际问题的过程中，涉及复杂的数据处理，要注意充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量.
各个击破
类题演练1
我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：
年份
1990
1991
1992
1993
产值/亿元
18 598.4
21 662.5
26 651.9
34 560.5
年份
1994
1995
1996
1997
产值/亿元
46 670.0
57 494.9
66 850.5
73 142.7
年份
1998
1999
2000

产值/亿元
76 967.1
80 422.8
89 404.0

（1）描点画出1990—2000年国内生产总值的图象；
（2）建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出其图象；
（3）根据所建立的函数模型，预测2004年的国内生产总值.
解析：（1）取自变量x为0，1，…，10，对应年份为1990，1991，…，2000得函数图象，如下图：

（2）根据图象，取函数模型y=a·bx.
取2组数据：
（2，26 651.9）,(8,76 967.1).
代入y=a·bx得
解得a≈18 715.5,b≈1.19，得函数模型：
y=18 715.5×1.19x.
将其他数据代入上述函数解析式，基本吻合.
（3）令x=14得y≈213 726.8（亿元），
根据所建函数模型预测2004年的国内生产总值为213 726.8亿元.
类题演练2
已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=-·（x-30）2+8（万元）.现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得年利润Q（x）=-（100-x）2+(100-x)（万元）.新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.
（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1 000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？
（2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？
（3）从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%来，能否还清对银行的欠款？
解析：（1）五年利息是1 000×0.055×5=275（万元），本利和为1 275万元.
（2）设从第三年年初起每年旧产品投入x万元，新产品投入（100-x）万元，于是每年的利润是W=P（x）+Q(100-x)=［-（x-30）2+8］+{-［100-(100-x)］2+［100-(100-x)］}=(-x2+x-1)+(-x2+x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.
∴投入旧产品26万元，新产品74万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是675万元.
（3）因为P（x）在（0，30］上是增函数，所以在100万元的生产准备金中除用于新产品开发外，剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是，头2年的利润是W1=2×P（20）=14（万元）；后3年的利润是W2=3×［P（26）+Q（74）］=3×675=2 025（万元），故5年的总利润是W=W1+W2=2 039万元，又2 039×70%=1 427.3＞1 275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70%来，能够还清对银行的欠款.