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1.1.1 集合的含义与表示
课堂导学
三点剖析
一、集合的概念
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由.
(1){R}=R;
(2)方程组的解集为{x=1,y=2};
(3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1};
(4)平面内线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}.
思路分析：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型.处理此类问题关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法.
解：(1){R}=R是不正确的，R通常为R={x|x为实数}，即R本身可表示为全体实数的集合，而{R}则表示含有一个字母R的集合，它不能为实数的集合.
(2)方程组的解集为{x=1,y=2}是不对的,因为解集的元素是有序实数对(x,y)，正确答案应为{(x,y)|}={(1,2)}.
(3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1}是不正确的.
{x|y=x2-1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x2-1}={x|x∈R}=R.
{y|y=x2-1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x2-1}={y|y≥-1}.
{(x,y)|y=x2-1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x2-1的图象上.
(4)平面上线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}是正确的.
温馨提示
正确理解集合表示方法对以后的学习有极大帮助.特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{(x,y)|}的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么.
【例2】 已知a∈{1,-1,a2}，则a的值为______________________.
解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题.
∵a∈{1,-1,a2},
∴a可以等于1，-1，a2.
(1)当a=1时，集合则为{1，-1,1}，不符合集合元素的互异性.故a≠1.
(2)同上，a=-1时也不成立.
(3)a=a2时，得a=0或1，a=1不满足舍去，a=0时集合为{1,-1,0}.
综上，a=0.
答案：0
温馨提示
集合元素的互异性指集合中元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关.因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性.
二、运用集合的两种表示方法正确地表示集合
【例3】 用列举法表示下列集合.
(1){y|y=x2-2,x≤3,x∈N};
（2）{(x,y)|y=x2-2,x≤3,x∈N}.
思路分析：首先认准描述法所表示集合的代表元素，然后根据条件求其值，用列举法将集合中的元素不计次序、不重复、不遗漏地列出来.
解：(1)因为x≤3,x∈N，所以x=0,1,2,3.所以y=-2,-1,2,7.所以{y|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{-2，-1，2，7}.
（2）由上题可知，{（x,y）|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{(0,-2),(1,-1),(2,2),(3,7)}.
温馨提示
列举法适合于表示集合是有限集，且元素个数较少，但有时也可表示无限集或个数较多的集合，如：{1，2，…，n,…}.
【例4】 用描述法表示下列集合.
（1）偶数集;
（2）{2，4，6，8};
（3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合.
解：（1）{x|x=2n,n∈Z}；
(2){x|x=2n,1≤n≤4,n∈Z}；
(3){(x,y)|x>0,且y>0}.
温馨提示
用描述法表示集合时，要弄清楚元素的特征，使其具有符合性质的都属于集合，不具有性质的不属于集合.
三、集合概念再理解
【例5】 判断以下对象的全体能否组成集合.
(1)高一·一班的身高大于1.75 m的学生；
(2)高一·一班的高个子学生.
思路分析：该例贴近于现实生活，能较好地帮助同学们正确理解集合元素的确定性.
解：(1)高一·一班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75 m的学生可以组成集合.
(2)高一·一班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合.
温馨提示
判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可.
各个击破
类题演练1
(1) 下列命题是假命题的个数为_______________________.
①{1,2}={(1,2)} ②={x|x+1=1} ③解的集合为{(x,y)|x=2或y=-6}
④∈{x|x≤3} ⑤{P|PO=3 cm}(O是定点)表示圆
解析：①②③为假命题.
答案：3
(2)判断下列表示能否视为集合表示：
①{1,2,3,…}；
②{s=t2+1}；
③{正方形}.
解析:①不是集合表示.若用列举法表示无限集,应将元素间的规律表示出来.此集合可表示为{1，2，3，…n,…}.
②不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么.
③不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么，应写为{x|x是正方形}.
(3)可以表示方程组的解集的是__________________.
①{x=2,y=1} ②{(x,y)|(2,1)} ③{2,1} ④{(2,1)} ⑤{(x,y)|x=2或y=1}⑥{(x,y)|x=2且y=1} ⑦{(x,y)|}
答案:④⑥⑦
变式提升1
实数{3，x,x2-2x}中的元素x应满足的条件为：______________________________
解析：由集合元素的互异性可知x≠-1且x≠0且x≠3.
类题演练2
集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},a∈R,b∈R.若A=B，求a2006+b2006的值.
解析:由题目条件得解得∴a2006+b2006=1.
变式提升2
已知集合A={x∈R|ax2+2x+a=0,a∈R}中只有一个元素，求a的值，并求这个元素.
解析：由于A={x∈R|ax2+2x+a=0,a∈R}只有一个元素，
因此，有两种情况.
(1)a=0时，ax2+2x+a=0变为x=0,A={x|x=0}满足条件.
(2)a≠0时，ax2+2x+a=0有相等实根，即Δ=4-4a2=0,得a=±1.
a=1时，A={x∈R|x2+2x+1=0}={x|x=-1};
a=-1时，A={x=R|x2-2x+1=0}={x|x=1}.
综上知，a=0时，A={x|x=0}；
a=1时，A={x|x=-1};
a=-1时，A={x|x=1}.
类题演练3
用列举法表示下列集合.
(1)不大于10的非负偶数；
（2）方程（x-1）2(x-3)=0的解集；
（3）方程组的解集.
答案:（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{1，3}；（3）{（2，1）}.
变式提升3
(2006山东高考，1)定义集合运算：A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0，1}，B=（2，3），则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A.0 B.6 C.12 D.18
解析：取x=0时，z=0,
取x=1时，z=6或12，
∴A⊙B={0，6，12}，
∴所求A⊙B的元素之和为18，选D.
答案：D
类题演练4
用描述法表示下列集合.
（1）所有正奇数组成的集合;
（2）坐标平面内x轴上的点组成的集合.
答案：（1）{x|x=2n-1,n∈N*}； (2){(x,y)|y=0}.
变式提升4
用适当的方法表示下列集合.
（1）由不等式x-3>2的所有解组成的集合;
（2）由方程组的所有解组成的集合;
（3）由小于10的非负奇数组成的集合.
解：（1）{x|x>5}; (2){(x,y)|}或{(2,3)}； (3){1,3,5,7,9}或{x|x=2n-1，1≤n≤5,n∈Z}.
类题演练5
以下说法的对象能组成集合的有____________________.
①所有的奇数 ②不小于-2的数 ③满足方程2x-y=0的解为坐标的点 ④很小的数 ⑤漂亮的花 ⑥不满足x+1=0的实数
解析：∵①②③⑥中描述的元素都具有确定性，能构成集合，而④⑤中描述的元素都不具有确定性，即无法判断一个元素是否属于集合，故不能构成集合.
答案：①②③⑥
变式提升5
已知满足“如果x∈A,则6-x∈A”的自然数x构成集合A.
(1)若A是一个单元素集，则A=_________________;
(2)若A有且只有两个元素，则A=_______________.
解析：（1）∵3∈A,则6-3∈A,∴A={3}； (2)∵2∈A,∴6-2∈A,∴A={2,4}.
同理A={0，6}或{1，5}.
答案：（1）{3} （2）{2，4} {0，6} {1，5}
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