2023版高考数学一轮复习第9章解析几何第2节两直线的位置关系课时跟踪检测理新人教A版.doc

第二节　两直线的位置关系
A级·根底过关
|固根基|
1.“a＝2〞是“直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直〞的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　假设直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直，那么有(－a)×＝－1，即a2＝4，所以a＝±2，所以“a＝2〞是“直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直〞的充分不必要条件．应选A．
2．假设点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，那么点P的坐标为(　　)
A．(1，2) B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)
解析：选C　设点P为(x，5－3x)，那么d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1，2)或(2，－1)，应选C．
3．(2023届广州调研测试)“a＝3〞是“直线ax＋2y＋3a＝0和3x＋(a－1)y＝a－7平行〞的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　两直线平行的充要条件是＝≠.由＝，得a2－a＝6，解得a＝3或a＝－2.当a＝－2时，＝＝，两直线重合，不符合题意，舍去，所以a＝3，故“a＝3〞是“直线ax＋2y＋3a＝0和3x＋(a－1)y＝a－7平行〞的充要条件，应选C．
4．(2023届江西南昌检测)直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是(　　)
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A　在所求直线上任取一点P(x，y)，那么点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，应选A．
5．(2023届河北模拟)假设直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，那么实数k的取值范围是(　　)
A．－6<k<－2 B．－5<k<－3
C．k<－6 D．k>－2
解析：选A　解方程组得因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以所以－6<k<－2.应选A．
6．点A(x，5)关于点(1，y)的对称点是(－2，－3)，那么点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．4 B．
C． D．
解析：选D　根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4，1)，所以点P(x，y)到原点的距离d＝＝，应选D．
7．假设直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，那么直线l2过定点(　　)
A．(0，4) B．(0，2)
C．(－2，4) D．(4，－2)
解析：选B　由题知，直线l1过定点(4，0)，那么由条件可知，直线l2所过定点关于(2，1)对称的点为(4，0)，故可知直线l2所过定点为(0，2)，应选B．
8．(2023届南昌二中月考)设点A(－2，3)，B(3，2)，假设直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，那么a的取值范围是(　　)
A．∪
B．
C．
D．∪
解析：选B　易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，∴kPA＝－，kPB＝.设直线ax＋y＋2＝0的斜率为k，假设直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－<k<，即－<－a<，解得－<a<，应选B．
9．过直线l1：x－3y＋4＝0和直线l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
解析：选D　易知(0，0)不在直线2x＋y＋5＝0上，可设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，将(0，0)代入，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
10．(2023届绵阳诊断)直线l1：x＋(1＋k)y＝2－k与l2：kx＋2y＋8＝0平行，那么k的值是________．
解析：依题意得＝≠，解得k＝1或k＝－2(舍去)．
答案：1
11．(2023届武汉调研)直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)假设点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
解：(1)易知点A到直线x－2y＝0的距离不等于3，可设经过两直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.
由题意得＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或，
∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由解得交点为P(2，1)．如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，那么d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝＝.
12．方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴解得故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段长度小于斜线段长度知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，∴|PQ|<4，故所证成立.
B级·素养提升
|练能力|
13.(2023届陕西省高三第二次质量检测)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，且AC＝BC，那么△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
解析：选C　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线．又A(2，0)，B(0，4)，故AB的中点为(1，2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，应选C．
14．(2023届成都诊断)直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，那么直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)
A．(3，) B．(2，)
C．(1，) D．
解析：选C　因为直线l1过点(－2，0)且斜率为k1＝tan 30°＝，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)．因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－＝－，又过点(2，0)，所以直线l2的方程为y＝－(x－2)．联立得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．
15．(2023届安阳一模)两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，那么l1，l2之间距离的取值范围是(　　)
A．(5，＋∞) B．(0，5]
C．(，＋∞) D．(0，]
解析：选D　当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0， ]．
16．(2023届湖南岳阳二模)动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，那么＋的最小值为(　　)
A． B．
C．1 D．9
解析：选B　∵动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－2＝0.又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，∴＝3，解得m＝0，∴a＋c＝2.又a>0，c>0，∴＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时等号成立．应选B．