1、第八章第五节一、选择题1(文)(2022广东文)若实数k满足0k5,则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析0k5,两方程都表示双曲线,由双曲线中c2a2b2得其焦距相等,选D.(理)(2022广东理)若实数k满足0k9,则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等答案A解析由0k0,b0)左支上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是()A内切B外切C内切或外切D不相切答案A解析取PF2的中点M,则2|OM|F1P|,且O、M为两圆圆心,OM为圆心距由双曲
2、线定义可知|PF2|PF1|2a,即2|MF2|2|OM|2a,|OM|MF2|a,即圆心距等于两圆半径之差,则两圆内切(理)已知F为双曲线1(a0,b0)的右焦点,点P为双曲线右支上任意一点,则以线段PF为直径的圆与圆x2y2a2的位置关系是()A相离B相切C相交D不确定答案B解析设双曲线左焦点为F1,PF的中点为C,则由双曲线的定义知,|PF1|PF|2a,C、O分别为PF、F1F的中点,|PF1|2|CO|,|PF|2|PC|,|CO|PC|a,即|PC|a|CO|,两圆外切3(文)(2022河北石家庄其次次质检)已知F是双曲线1(a0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则P
3、OF的大小不行能是()A15B25C60D165答案C解析双曲线的渐近线方程为0,两渐近线的斜率k,渐近线的倾斜角分别为30,150,所以POF的大小不行能是60.(理)(2022甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()A.1B1C.1D1答案C解析由于以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c5,又c2a2b2,所以a3,b4,所以以此双曲线的方程为1.4(2022山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点,焦点在x轴上,若C1的一个焦点与抛物线C2:y
4、212x的焦点重合,且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4,则双曲线C1的实轴长为()A6B2C.D2答案D解析设双曲线C1的方程为1(a0,b0)由已知,抛物线C2的焦点为(3,0),准线方程为x3,即双曲线中c3,a2b29,又抛物线C2的准线过双曲线的焦点,且交双曲线C1所得的弦长为4,所以2,与a2b29联立,得a22a90,解得a,故双曲线C1的实轴长为2,故选D.5(2021焦作市期中)已知双曲线y21(a0)的实轴长为2,则该双曲线的离心率为()A.BC.D答案B解析由条件知22,a1,又b1,c,e.6(文)已知双曲线1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A、B两点,且
5、|AB|4,F2为双曲线的右焦点,ABF2的周长为20,则m的值为()A8B9C16D20答案B解析由已知,|AB|AF2|BF2|20,又|AB|4,则|AF2|BF2|16.据双曲线定义,2a|AF2|AF1|BF2|BF1|,所以4a(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)16412,即a3,所以ma29,故选B.(理)(2022江西赣州四校联考)已知双曲线1(a0,b0)的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A相交B相切C相离D以上状况都有可能答案B解析设以线段PF1,A1A2为直径的两圆的半径分
6、别为r1,r2,若P在双曲线左支上,如图所示,则|O2O|PF2|(|PF1|2a)|PF1|ar1r2,即圆心距为两圆半径之和,两圆外切若P在双曲线右支上,同理求得|OO1|r1r2,故此时两圆内切综上,两圆相切,故选B.二、填空题7(文)过双曲线2x2y220的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若|AB|4,则这样的直线有_条答案3解析过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若lx轴,则|AB|4;若l经过顶点,此时|AB|2,因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时,满足|AB|4的直线有两条(理)(2022浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点
7、A,B,若点P(m,0)满足|PA|PB|,则该双曲线的离心率是_答案解析联立渐近线与直线方程可解得A(,),B(,),则kAB,设AB的中点为E,由|PA|PB|,可知AB的中点E与点P两点连线的斜率为3,6,化简得4b2a2,所以e.8(2022温州十校联考)过双曲线1(a0,b0)的左焦点F作圆x2y2a2的两条切线,记切点分别为A、B,双曲线的左顶点为C,若ACB120,则双曲线的离心率e_.答案2解析连接OA,依据题意以及双曲线的几何性质,|FO|c,|OA|a,而ACB120,AOC60,又FA是圆O的切线,故OAFA,在RtFAO中,简洁得到|OF|2a,e2.9(文)(2021
8、河南八校联考)已知双曲线1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于_答案解析由条件知a259,a2,e.(理)(2022深圳调研)已知双曲线C:1(a0,b0)与椭圆1有相同的焦点,且双曲线C的渐近线方程为y2x,则双曲线C的方程为_答案x21解析易得椭圆的焦点为(,0),(,0),a21,b24,双曲线C的方程为x21.三、解答题10(文)设双曲线C:y21(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点A,B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴的交点为P,若,求a的值解析(1)将yx1代入双曲线y21中得(1a2)x22a2x2a20由题设条件知,解得0a且a1,又双
9、曲线的离心率e,0a且e.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),(x1,y11)(x2,y21)x1x2,x1、x2是方程的两根,且1a20,x2,x,消去x2得,a0,a.(理)设双曲线C:1(a0,b0)的离心率e2,经过双曲线的右焦点F且斜率为的直线交双曲线于A,B两点,若|AB|12,求此双曲线方程解析e2,c2a,又c2a2b2,b23a2,双曲线C的方程为1,直线AB:y(x2a)代入双曲线方程化简得,4x220ax29a20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x25a,x1x2a2,由|AB|x1x2|得,12,a21,b23,所求双曲线方程为x21
10、.一、选择题11(文)(2021绍兴一中期中)已知双曲线1(a0,b0)的离心率e,2,则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是()A,B,C,D,答案C解析设渐近线与实轴所成的角为,则tan0,tan2e211,3,tan1,(理)(2021大连二十中期中)已知点P,A,B在双曲线1上,直线AB过坐标原点,且直线PA、PB的斜率之积为,则双曲线的离心率为()A.BC2D答案A解析设A(x1,y1),则由题意知B(x1,y1),又设P(x0,y0),PA的中点为M,则kPA,kBPkOM,A、P在双曲线上,1,1,两式相减得,kBPkPA,e21,e.12(文)(2021合肥市第一次质检)双曲线1
11、(ab0)的一条渐近线平分圆C:(x1)2(y2)21的周长,此双曲线的离心率等于()A.B2C.D答案A解析由条件知,圆心C(1,2)在直线yx上,2,4,e,故选A.(理)已知椭圆C1:1(ab0)与双曲线C2:x21有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则()Aa2Ba213Cb2Db22答案C解析由已知双曲线渐近线为y2x.圆方程为x2y2a2,则|AB|2a.不妨取y2x与椭圆交于P、Q两点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|AB|,|OP|.则点P坐标为(,),又点P在椭圆上,1.又a2b25,b2a25.,解得故选C.1
12、3(2022重庆理)设F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|ab,则该双曲线的离心率为()A.BC.D3答案B解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF2|3b,所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2,即4|PF1|PF2|9b24a2,又4|PF1|PF2|9ab,因此9b24a29ab,即9()240,则(1)(4)0,解得(舍去),则双曲线的离心率e.14(2022湖北文)设a,b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点
13、的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0B1C2D3答案A解析关于t的方程t2costsin0的两个不等实根为0,tan(tan0),A(0,0),B(tan,tan2),则过A,B两点的直线方程为yxtan,双曲线1的渐近线方程为yxtan,所以直线yxtan与双曲线没有公共点,故选A.二、填空题15(文)如图,椭圆、与双曲线、的离心率分别为e1、e2、e3、e4,其大小关系为_答案e1e2e4e3解析在椭圆中,e,故越扁越小,e越大,e1e2e41,e1e2e4e3.(理)如图,已知|AB|10,图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,n,.利用这两
14、组同心圆可以画出以A,B为焦点的双曲线,若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分别记为eM、eN、eP,则它们的大小关系是_(用“”连接)答案eMePePeM.16(2022山东日照模拟)已知F1,F2为双曲线1(a0,b0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析设F2(c,0)(c0),P(c,y0),代入双曲线方程得y0,PQx轴,|PQ|.在RtF1F2P中,PF1F230,|F1F2|PF2|,即2c.又c2a2b2,b22a2或2a23b2(舍去),a0,b0,.故所求双曲线的渐近线方程为yx.三、解答题17(2
15、022广东肇庆一模)设双曲线C:1(a0,b0)的一个焦点坐标为(,0),离心率e,A,B是双曲线上的两点,AB的中点为M(1,2)(1)求双曲线C的方程(2)求直线AB的方程(3)假如线段AB的垂直平分线与双曲线交于C,D两点,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?解析(1)依题意得解得a1.所以b2c2a2312,故双曲线C的方程为x21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2),由题意得x1x2,x1x22,y1y24,所以1,即kAB1.故直线AB的方程为yx1.(3)假设A,B,C,D四点共圆,且圆心为P.由于AB为
16、圆P的弦,所以圆心P在AB的垂直平分线CD上又CD为圆P的弦且垂直平分AB,故圆心P为CD中点M.下面只需证CD的中点M满足|MA|MB|MC|MD|即可由得A(1,0),B(3,4)由此可得直线CD方程:yx3.由得C(32,62),D(32,62),所以CD的中点M(3,6)由于|MA|2,|MB|2,|MC|2,|MD|2,所以|MA|MB|MC|MD|,即A,B,C,D四点在以点M(3,6)为圆心,2为半径的圆上18(文)已知椭圆C1的方程为y21,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:ykx与双
17、曲线C恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围解析(1)设双曲线C2的方程为1,则a2413,c24,再由a2b2c2,得b21,故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21中得,(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点得k2且k22得,xAxByAyB2,xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2于是2,即0,解此不等式得k23由得k21,k1或1k0,b0),F1,F2分别是它的左、右焦点,A(1,0)是其左顶点,且双曲线的离心率e2.设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点,其中点P位
18、于第一象限内(1)求双曲线的方程;(2)若直线AP、AQ分别与直线x交于M、N两点,求证:MF2NF2;(3)是否存在常数,使得PF2APAF2恒成立?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由解析(1)由题意可知,a1,e2,c2.a2b2c2,b,双曲线C的方程为x21.(2)设直线l的方程为xty2,P(x1,y1),Q(x2,y2),由消去x得,(3t21)y212ty90,y1y2,y1y2.又直线BP的方程为y(x1),代入x得,M(,),同理,直线AQ的方程为y(x1),代入x得,N(,),(,),(,),0,MF2NF2.(3)当直线l的方程为x2时,解得P(2,3)易知此时AF2P为等腰直角三角形,其中AF2P,PAF2,即AF2P2PAF2,也即2.下证:AF2P2PAF2对直线l存在斜率的情形也成立tan2PAF2,x1,y3(x1),tan2PAF2,tanAF2PkPF2tan2PAF2,结合正切函数在(0,)(,)上的图象可知,AF2P2PAF2.