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第八章 第七节
一、选择题
1．(文)(2022·云南部分名校联考)P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，且·＝0，若△F1PF2的面积是9，a＋b＝7，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．
[答案] D
[解析] 由·＝0得∠F1PF2＝90°，在△F1PF2中有|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝4c2.由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2a，且|PF1||PF2|＝18，代入得b＝3，∴a＝4，c＝5，则离心率为.
(理)(2022·湖北荆门调研)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线y＝－(x－c)，与y＝x联立，解得M(，)．由点M在以线段F1F2为直径的圆外，得()2＋()2>c2，
∴1＋>4，∴e＝>2.
2．(2022·北京石景山统一测试)已知动点P(x，y)在椭圆C：＋＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且·＝0，则||的最小值为( )
A. B．3
C. D．1
[答案] A
[解析] 在椭圆C：＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，
M在以F为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，所以PF最小时，切线长最小．设P(x0，y0)，
则|PM|2＝|PF|2－1＝(x0－3)2＋y－1
＝(x0－3)2＋16－－1
＝x－6x0＋24＝(x0－)2－1，
∵－5≤x0≤5，
∴当x0＝5时，|PM|2取到最小值3，
∴|PM|min＝..
3．(文)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 由题意设直线l的方程为y＝(x－)，即x＝＋，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2py－p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝p，yB＝－p，所以＝||＝3.
(理)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] ∵M(1，m)到焦点距离为5，∴M到准线距离为5，
又xM＝1，∴＝4，∴p＝8，∴y2＝16x，
当x＝1时，y＝±4，∵m>0，∴m＝4，即M(1,4)，
双曲线左顶点A(－，0)，∴kMA＝，
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
由题意知＝，∴a＝.
4．(2022·辽宁省协作校三模)抛物线y2＝4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB＝π，弦AB中点M在准线l上的射影为M′，则的最大值为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 如图，由抛物线定义及条件知，
|MM′|＝(AA′＋BB′)＝(|AF|＋|BF|)．
∴()2＝
＝
＝(1＋)
≤(1＋)＝，
∴≤，等号成立时，|AF|＝|BF|.
5．(文)(2021·唐山一中、湖南师大附中月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线－＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] D
[解析] 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
由e＝可得a＝2b，
∴椭圆方程为＋＝1，
而渐近线y＝±x与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在第一象限的小正方形边长为m，则m2＝4⇒m＝2，从而点(2,2)在椭圆上，
即：＋＝1⇒b2＝5，于是a2＝20，
椭圆方程为＋＝1，应选D.
(理)(2021·浙江桐乡四校联考)点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为( )
A.＋1 B．
C. D．－1
[答案] A
[解析] ∵a2＋b2＝c2，∴⊙C2以F1F2为直径，
∴PF1⊥PF2，
∵∠PF2F1＝2∠PF1F2，∴∠PF1F2＝30°，
∴|PF2|＝c，|PF1|＝c，
由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，∴c－c＝2a，
∴e＝＝＋1.
6．(2022·广东汕头一模)已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
[答案] C
[解析] 当∠PF1F2为直角时，依据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理，当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．
二、填空题
7．(文)(2021·唐山一中月考)已知双曲线－＝1(a，b>0)的右焦点F，若过F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
[答案] [2，＋∞)
[解析] 由条件知≥tan60°＝，∴≥3，
∴e≥2.
(理)已知过双曲线－＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
[答案] (1，)
[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即<1，∴<1，∴<2，
即e2<2，∵e>1，∴1<e<.
8．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
[答案] 2
[解析] 依据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程得，
4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，
∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，
∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，
即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，
长轴长为2＝2.
9．(2022·山东文)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
[答案] y＝±x
[解析] 抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，与双曲线的方程联立得x2＝a2(1＋)，依据已知得a2(1＋)＝c2 ①.由|AF|＝c，得＋a2＝c2 ②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x.
三、解答题
10．(文)(2022·唐山一模)P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．
[解析] (1)圆A的圆心为A(－1,0)，半径等于2.
由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a＝，c＝1，b＝1，
曲线Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P(，)．
于是直线AP方程为y＝(x＋1)．
由，解得5x2＋2x－7＝0，x1＝1，x2＝－.
由于点M在线段AP上，所以点M坐标为(1，)．
(理)(2021·唐山一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？假如存在，求k值；假如不存在，请说明理由．
[解析] (1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1，
整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0.①
由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，
得Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2＞0，
解得k<－或k>，
即k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．
由方程①，知x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③
由A(，0)，B(0,1)，得＝(－，1)．
所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，
将②③代入，解得k＝.
由(1)知k＜－或k＞，
故不存在符合题意的常数k.
一、解答题
11．(文)(2022·湖南岳阳一模)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＋＝0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．
[解析] (1)∵点P(－，1)在椭圆上，
∴＋＝1.①
又∵＋＝0，M在y轴上，
∴M为PF2的中点，
∴－＋c＝0，c＝.
∴a2－b2＝2，②
联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，
∴a2＝4.
故所求椭圆C的方程是＋＝1.
(2)∵点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，
∴
解得
∴3x1－4y1＝－5x0.
∵点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，
∴－2≤x0≤2，
∴－10≤－5x0≤10，
即3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．
(理)(2022·中原名校联考)已知A(1,0)，P为圆F：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，线段AP的垂直平分线交半径FP于点Q，当点P在圆上运动时．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设点D(0,1)，是否存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M，N，使(＋)·＝0，若存在，求出直线l斜率的取值范围，若不存在，请说明理由．
[解析] (1)依题意知：|QF|＋|QA|＝|PF|＝4>|FA|＝2，所以点Q的轨迹是以F，A为焦点的椭圆，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)∵条件(＋)·＝0等价于||＝||，
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率确定存在，
否则点D(0,1)在x轴上，冲突．
∴可设直线l：y＝kx＋m(k≠0)，
由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0得4k2＋3＞m2.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为Q(x0，y0)，
则x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝.
又∵||＝||，
∴＝－，即＝－，解得：m＝－3－4k2.
由4k2＋3＞m2得4k2＋3＞(3＋4k2)2，
即4k2＜－2，这是不行能的．
故满足条件的直线不存在．
12．(文)(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
[解析] (1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵|PQ|是点Q到直线l的距离．
点Q在线段FP的垂直平分线上，
∴|PQ|＝|QF|.
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程为y2＝2x(x>0)．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，
圆的半径r＝|MA|＝，
则|TS|＝2＝2，
由于点M在曲线C上，所以x0＝，
所以|TS|＝2＝2，是定值．
(理)(2021·山西高校附中月考)已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.
(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
(2)设＝α，＝β，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
[解析] (1)证明：设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
联立方程得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－，0)，则
x1＋x2＝－，x1·x2＝.②
∴|MA|·|MB|＝|x1－0|·|x2－0|＝，
而|MC|2＝(|－－0|)2＝，
∴|MC|2＝|MA|·|MB|≠0，
即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列．
(2)由＝α，＝β得
(x1，y1－2)＝α(－x1－，－y1)，(x2，y2－2)＝β(－x2－，－y2)，
即得α＝，β＝，
则α＋β＝.
将②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值，且定值为－1.
13．(文)(2021·东北三校联考)已知点E(m,0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．
(1)若m＝1，k1k2＝－1，求三角形EMN面积的最小值；
(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
[解析] (1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，
设AB方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4.
AB中点M(，)，∴M(＋1，)；同理，点N(2k＋1，－2k1)．
∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD，
∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，
当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.
(2)设AB方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4m，
AB中点M(，)，∴M(＋m，)；
同理，点N(＋m，)．
∵k1＋k2＝1，∴kMN＝＝＝k1k2，
∴lMN：y－＝k1k2[x－(＋m)]，即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直线MN恒过定点(m,2)．
(理)(2021·洛阳市期中)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析] (1)∵左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为，∴＝，解得c＝1.
又e＝＝，解得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求椭圆C的方程为：＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得
(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，化为3＋4k2>m2.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝.
∵以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，kAD·kBD＝－1，
∴·＝－1，
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
∴＋＋＋4＝0.
化为7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－.且满足3＋4k2－m2>0.
当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知冲突；
当m＝－时，l：y＝k(x－)，直线过定点(，0)．
综上可知，直线l过定点(，0)．
14．(文)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．
[解析] (1)依题意有
解得a＝1，b＝，c＝2.
所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.
(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．
由消去y得，
(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①
由于直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有
所以k2>3.②
由于·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.
又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，
而x0＝＝＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.
∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．
所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.
(理)(2022·天津河东区二模)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足·<6(其中O为原点)，求k的取值范围．
[解析] (1)设双曲线C2的方程为－＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0.
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得，
Δ1＝128k2－16(1＋4k2)＝16(4k2－1)>0，
即k2>.①
将y＝kx＋代入－y2＝1得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点得，
②
即k2≠且k2<1.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xA·xB＝，
由·<6得xAxB＋yAyB<6，
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋k·＋2＝.
于是<6，即>0，解此不等式得，
k2>或k2<.③
由①、②、③得，<k2<或<k2<1.
故k的取值范围为(－1，－)∪(－，－)∪(，)∪(，1)．
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