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第八章 第八节
一、选择题
1．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )
A．一条直线 B．一个圆
C．一个椭圆 D．双曲线的一支
[答案] A
[解析] 过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C的轨迹是平面α、β的交线．
2．已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线一支 D．抛物线
[答案] A
[解析] |QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．
[点评] 关于轨迹方程的问题
(1)定义法求轨迹方程
①已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] C
[解析] 依题意得，|PA|＝|PF2|，
又|PA|＋|PF1|＝|AF1|＝2，
故|PF1|＋|PF2|＝2，点P的轨迹为椭圆，
方程为＋＝1.
②若点P到直线y＝－2的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] 由条件知，点P到直线y＝－1的距离与它到点A(0,1)的距离相等，∴P点轨迹是以A为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线．
③正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
[答案] B
[解析] 由P向AD作垂线垂足为N，由题意知|PN|2＋1－|PM|2＝1，
∴|PN|＝|PM|，即动点P到直线AD的距离等于动点P到点M的距离，∴点P的轨迹是抛物线．
④在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外)．在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD.设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
[答案] A
[解析] 由OP交⊙O于M可知|PF|－|PO|＝|PM|－|PO|＝|OM|<|OF|(F在圆外)，
∴P点的轨迹为双曲线，故选A.
⑤已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[分析] 设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋r1，|MC2|＝r－r2，则|MC1|－|MC2|＝r1＋r2＝定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程．
[解析] 如图，设动圆M的半径为r，
则由已知得|MC1|＝r＋，
|MC2|＝r－.
∴|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8，∴2<|C1C2|.
依据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，
∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．
⑥圆O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
[答案] B
[解析] 设抛物线的焦点为F，由于A、B在抛物线上，
所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN，
过O作OP⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OP是中位线，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|.
依据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．
(2)直译法求轨迹方程．
⑦已知平面上两定点A、B的距离是2，动点M满足条件·＝1，则动点M的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[答案] B
[解析] 以线段AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设M(x，y)，
∵·＝1，∴(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝1，
∴x2＋y2＝2，故选B.
⑧设x1、x2∈R，常数a>0，定义运算“*”，x1]x*a))的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
[答案] D
[解析] ∵x1]x*a)＝＝2，
则P(x,2)．
设P(x1，y1)，即，消去x得，
y＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，
故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D.
⑨已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
[答案] A
[解析] 由log2x，log2y,2成等差数列得
2log2y＝log2x＋2 ∴y2＝4x(x>0，y>0)，故选A.
⑩(2022·广州模拟)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
[答案] D
⑪(2022·上海徐汇一模)在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2,0)，N(2,0)满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．
[答案] y2＝－8x
[解析] 由题意可知＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，由||·||＋·＝0，可知4＋4(x－2)＝0，化简，得y2＝－8x.
(3)代入法求轨迹方程
⑫动点A在圆x2＋y2＝1上移动，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．＋y2＝
[答案] C
[解析] 设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)，
∵A在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.
⑬平面直角坐示系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
[答案] A
[解析] 设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)，
∵＝λ1＋λ2，
∴，解得
又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
⑭设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
[答案] x2－4y2＝1
[解析] 设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求．
3．(2022·山东青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y2＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x－y－10＝0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] B
[解析] 由题意可知，p＝4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，－4)，QN：y＝－4，直线QN，MN关于l：x－y－10＝0对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于y轴．解得N(6，－4)，故x0等于6.故选B.
4．(2022·北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且OD＝BE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是( )
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)
B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)
C．y＝x2(0≤x≤1)
D．y＝1－x2(0≤x≤1)
[答案] A
[解析] 设D(0，λ)，E(1,1－λ)(0≤λ≤1)，所以线段AD方程为y＝－λx＋λ(0≤x≤1)，线段OE方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组
(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)，故A正确．
5．(2022·河南开封其次次模拟)已知双曲线M：－＝1和双曲线N：－＝1，其中b>a>0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率是( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 解方程组得x2＝，由＝c2，化简得－－1＝0.所以＝，∴e＝＝＝＝.
6．(2021·芜湖模拟)方程＋＝－1的曲线即为函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)，有如下结论；
①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点；③函数y＝f(x)的值域是R；④若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称，则函数y＝g(x)的图象就是方程＋＝1确定的曲线．其中正确命题的序号是( )
A．①② B．②③
C．①③④ D．①②③
[答案] D
[解析] 当x≥0，y≥0时，方程为＋＝－1，此时方程不成立．当x<0，y<0时，方程为＋＝1，此时y＝－3.当x>0，y<0时，方程为－＝－1，即y＝－3.当x<0，y>0时，方程为－＋＝－1，即y＝3.
作出函数的图象如图，
由图象可知，函数在R上单调递减．所以①成立．②由F(x)＝4f(x)＋3x＝0得f(x)＝－x.由于双曲线－＝－1和－＋＝－1的渐近线为y＝±x，所以F(x)＝4f(x)＋3x没有零点，所以②正确．由图象可知函数的值域为R，所以③正确．若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称，则函数y＝g(x)的图象就是方程＋＝－1，即＋＝1，所以④错误，综上①②③正确，故选D.
二、填空题
7．(2022·北京模拟)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
[答案] －＝1(x>3)
8．过点P(1,1)且相互垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．
[答案] x＋y－1＝0
[解析] 设l1：y－1＝k(x－1)，则l2：y－1＝－(x－1)，l1与x轴交点A(1－，0)，l2与y轴交点B(0,1＋)，设AB中点M(x，y)，则消去k得，x＋y－1＝0.
9．已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是________．
[答案] (x＋1)2－y2＝65
[解析] 设圆心P(x，y)，动圆半径为r，P到l1、l2的距离分别为d1、d2，由题意知d＋169＝r2＝d＋144，∴d－d＝25，即－＝25，
整理得，(x＋1)2－y2＝65.
三、解答题
10．已知双曲线－＝1的左右顶点分别为A1、A2，点P是双曲线上任一点，Q是P关于x轴的对称点，求直线A1P与A2Q交点M的轨迹E的方程．
[解析] 由条件知A1(－3,0)，A2(3,0)，设M(x，y)，P(x1，y1)，则Q(x1，－y1)，|x1|>3，
∴直线A1P：y＝·(x＋3)，A2Q：y＝·(x－3)，
两式相乘得＝，
∵点P在双曲线上，∴－＝1，∴＝－，
∴＝－，整理得＋＝1(xy≠0).
一、解答题
11．(2021·安徽名校联盟联考)设定点M(－2,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，线段MN的中点为点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．
[解析] (1)设P点坐标为(x，y)，N点坐标为(x0，y0)，则由中点坐标公式有
∵N点在圆x2＋y2＝4上，
∴x＋y＝4.
∴(2x＋2)2＋(2y－4)2＝4，
∴(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
即点P的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
(2)因直线l在x轴、y轴上的截距相等，故l的斜率存在且不为0，当直线l在x轴、y轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0.
∵直线l与(x＋1)2＋(y－2)2＝1相切，
∴＝1⇒k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.
当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，
设直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－a＝0.
∵直线l与(x＋1)2＋(y－2)2＝1相切，则有
＝1，解得a＝＋1或a＝1－.
故直线l的方程为x＋y－1－＝0或x＋y－1＋＝0，
综上可知l的方程为y＝－x或x＋y－1－＝0或x＋y－1＋＝0.
12．(2022·大纲全国理)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
[解析] (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得，y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)．|MN|＝|y3－y4|＝.
由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2
＝
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
13.(2022·鹤壁淇县检测)如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在直线上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
[解析] 圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，
∵·＝0，＝2，∴MQ⊥AP，点M是AP的中点，即QM是线段AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2，
又|AC|＝2>2，依据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，
因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
14．(2021·银川市质检)已知动圆过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)过点F(1,0)的直线交轨迹C于A，B两点，交它的准线于点N，已知＝λ1，＝λ2，求证λ1＋λ2为定值．
[解析] (1)设动圆圆心为O1(x，y)，当O1不在y轴上时，
则有|O1M|＝|O1A|⇔＝，
化简整理可得y2＝4x(x≠0)；
当O1在y轴上时，O1即为O，则O(0,0)也满足方程y2＝4x.
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)证法一：设直线AB的方程为x＝my＋1，则N(－1，－)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得y2－4my－4＝0，
∴
由＝λ1，＝λ2可知y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，则λ1＝－1－，λ2＝－1－.
∴λ1＋λ2＝－2－2(＋)＝－2－·＝－2－·＝0.
证法二：由＝λ1，＝λ2可知λ1·λ2<0，
∴＝－·.①
分别过点A，B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，
则＝＝.②
由①②可知－＝1⇒λ1＋λ2＝0.
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