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1．(2021·郑州市质检)为了迎接2021年3月29日在郑州进行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有六个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“秀丽绿城行”两种标志．摇匀后，参与者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到的两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则连续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，其次次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开头后，一位参与者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘秀丽绿城行’标志的概率是.”
(1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；
(2)若用η表示这位参与者抽取的次数，求η的分布列及期望．
解：(1)设印有“秀丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“秀丽绿城行”标志为大事A，
则同时抽取两球都是“秀丽绿城行”标志的概率是P()＝，由对立大事的概率：P(A)＝1－P()＝，即P()＝＝，解得n＝3.
故盒中印有“郑开马拉松”的小球有3个．
(2)由已知，两种球各三个，故η的可能取值分别为1，2，3，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝·＋·＝，
P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝.
则η的分布列为：
η
1
2
3
P
所以E(η)＝1×＋2×＋3×＝.
2．(2021·东北四市联考) 在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观看站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西45°，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度；
(2)求船从B到C的行驶过程中与观看站P的最短距离．
解：(1)设船速为x km/h，则BC＝ km.
在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，
∴AB＝＝.
同理，在Rt△PCA中，AC＝＝.
在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，
∴由余弦定理得
BC＝＝，
∴x＝6×＝2(km/h)，
∴船的航行速度为2 km/h.
(2)法一：作AD⊥BC于点D(图略)，
∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．
此时，AD＝＝＝.
∴PD＝ ＝.
∴船在行驶过程中与观看站P的最短距离为 km.
法二：由(1)知在△ACB中，由正弦定理＝，
∴sin B＝＝.
作AD⊥BC于点D(图略)，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．
此时，AD＝ABsin B＝×＝.
∴PD＝ ＝.
∴船在行驶过程中与观看站P的最短距离为 km.
3．(2021·福建福州模拟)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应削减2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司打算明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣扬费用，投入x万元作为浮动宣扬费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
解：(1)设每件定价为t元，
依题意，有(8－×0.2)t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，
解得25≤t≤40.
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x＞25时，
不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于x＞25时，a≥＋x＋有解，
∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10.2.
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
4．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年投入各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．
(1)从第几年开头猎取纯利润？
(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？
解：由题意知，每年投入的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．
则f(n)＝50n－[12n＋×4]－72＝－2n2＋40n－72.
(1)猎取纯利润就是要求f(n)＞0，故由－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18.
又n∈N*，故从第三年开头获利．
(2)①平均利润为＝40－2(n＋)≤16，当且仅当n＝6时取等号．
故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n＝6.
②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，当n＝10时，f(n)max＝128.
故此方案共获利128＋16＝144万美元．
比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案较合算．
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