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第八章 第八节
一、选择题
1．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是( )
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
[答案] D
[解析] 原方程化为
或－1＝0，
∴2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故选D．
2．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是( )
A．线段 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[答案] C
[解析] 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则
a2＋b2＝9，①
又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
则②
把②代入①式整理可得：x2＋y2＝1.故选C．
[点评] 关于轨迹方程的问题
(1)定义法求轨迹方程
①设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内确定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
[答案] D
[解析] M为AQ垂直平分线上一点，
则|AM|＝|MQ|.
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，(5>|AC|)
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.故选D．
②若点P到直线y＝－2的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] 由条件知，点P到直线y＝－1的距离与它到点A(0,1)的距离相等，∴P点轨迹是以A为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线．
③(2021·湘潭模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一动点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
[答案] A
[解析] 由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
④已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[分析] 设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋r1，|MC2|＝r－r2，则|MC1|－|MC2|＝r1＋r2＝定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程．
[解析] 如图，设动圆M的半径为r，
则由已知得|MC1|＝r＋，
|MC2|＝r－.
∴|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8，∴2<|C1C2|.
依据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，
∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．
(2)直译法求轨迹方程．
⑤已知平面上两定点A、B的距离是2，动点M满足条件·＝1，则动点M的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[答案] B
[解析] 以线段AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设M(x，y)，
∵·＝1，∴(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝1，
∴x2＋y2＝2，故选B．
⑥设x1、x2∈R，常数a>0，定义运算“*”，x1]x*a))的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
[答案] D
[解析] ∵x1]x*a)＝＝2，
则P(x,2)．
设P(x1，y1)，即，消去x得，
y＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，
故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D．
⑦已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
[答案] A
[解析] 由log2x，log2y,2成等差数列得
2log2y＝log2x＋2 ∴y2＝4x(x>0，y>0)，故选A．
⑧(2022·广州模拟)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
[答案] D
⑨(2022·上海徐汇一模)在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2,0)，N(2,0)满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．
[答案] y2＝－8x
[解析] 由题意可知＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，由||·||＋·＝0，可知4＋4(x－2)＝0，化简，得y2＝－8x.
(3)代入法求轨迹方程
⑩动点A在圆x2＋y2＝1上移动，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．＋y2＝
[答案] C
[解析] 设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)，
∵A在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C．
⑪平面直角坐示系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
[答案] A
[解析] 设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)，
∵＝λ1＋λ2，
∴，解得
又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
⑫设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
[答案] x2－4y2＝1
[解析] 设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求．
⑭如右图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
[分析] 直接求P的轨迹方程不好找关系，可利用Q，P，N三者之间的对称关系及直线的垂直关系求解．
[解析] 设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2x－x1,2y－y1)．
∵点N在直线x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2，①
又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，
∴＝1.即x－y＋y1－x1＝0.②
由①、②联立，解得
又Q在双曲线x2－y2＝1上，
∴x－y＝1，
即(x＋y－1)2－(x＋y－1)2＝1整理得
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0，这就是所求动点P的轨迹方程．
3.(2022·山东青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y2＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x－y－10＝0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] B
[解析] 由题意可知，p＝4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，－4)，QN：y＝－4，直线QN，MN关于l：x－y－10＝0对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于y轴．解得N(6，－4)，故x0等于6.故选B．
4．(2022·北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且OD＝BE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是( )
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1) B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)
C．y＝x2(0≤x≤1) D．y＝1－x2(0≤x≤1)
[答案] A
[解析] 设D(0，λ)，E(1,1－λ)(0≤λ≤1)，所以线段AD方程为y＝－λx＋λ(0≤x≤1)，线段OE方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组
(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)，故A正确．
5．(2022·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[－，] B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
[答案] C
[规范解答] 由题意得Q(－2,0)．
设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得
k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，
∴当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；
当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，
∴－1≤k≤1，且k≠0，
综上－1≤k≤1.
6．(2022·河南开封其次次模拟)已知双曲线M：－＝1和双曲线N：－＝1，其中b>a>0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 解方程组得x2＝，由＝c2，化简得－－1＝0.所以＝，∴e＝＝＝＝.
二、填空题
7．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析] 设F1(－c,0)，F2(c,0)，Q(x，y)，P(x1，y1)，
∴＝(－c－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，＝(x，y)，
由＝＋得，
∴
代入椭圆方程＋＝1中得，＋＝1.
8．(2022·北京模拟)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
[答案] －＝1(x>3)
9．已知A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为________．
[答案] ＋y2＝1
[解析] 设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P是线段AB的中点，∴①
∵A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，
∴y1＝x1和y2＝－x2.
代入①中得，②
又||＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.
∴12y2＋x2＝12，∴动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.
三、解答题
10．如图所示，在平面直角坐标系中，N为圆A：(x＋1)2＋y2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M是BN的中点，点P在线段AN上，且·＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)试推断以PB为直径的圆与圆x2＋y2＝4的位置关系，并说明理由．
[解析] (1)∵点M是BN中点，又·＝0，
∴PM垂直平分BN，∴|PN|＝|PB|，
又|PA|＋|PN|＝|AN|，∴|PA|＋|PB|＝4，由椭圆定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
设椭圆方程为＋＝1，
由2a＝4,2c＝2可得，a2＝4，b2＝3.
可得动点P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设PB中点为C，则|OC|＝|AP|＝
(|AN|－|PN|)＝(4－|PB|)＝2－|PB|.
∴两圆内切．
一、解答题
11．(2021·宁夏育才中学模拟)已知平面上确定点C(－1,0)和确定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，(＋2)·(－2)＝0.
(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线方程；
(2)点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若＋λ＝(1＋λ)，求λ的取值范围．
[解析] (1)由(＋2)·(－2)＝0，得2－42＝0.
设P(x，y)，则(x＋4)2－4[(x＋1)2＋y2]＝0，化简得＋＝1，即点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∵＋λ＝(1＋λ)，∴＋λ＝0，
∴(x1＋1，y1)＋λ(x2＋1，y2)＝0，∴
由于＋＝1，所以＋＝1，①
又由于＋＝1，所以＋＝λ2，②
由①－②得＝1－λ2，化简得x2＝.由于－2≤x2≤2，所以－2≤≤2，
解得≤λ≤3，所以λ的取值范围为[，3]．
12．(2022·大纲全国理)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
[解析] (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得，y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)．|MN|＝|y3－y4|＝.
由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2＝
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
13．(2022·江西鹰潭二模)如图，A(－m，m)，B(n，n)两点分别在射线OS，OT上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设Q(x0，)，过Q作(1)中曲线C的两条切线，切点分别为M，N，①求证：直线MN过定点；②若·＝－7，求x0的值．
[解析] (1)由已知得·＝－3mn＋mn＝－，得mn＝.
设点P坐标为(x，y)(y>0)，由＝＋，得(x，y)＝(－m，m)＋(n，n)＝((n－m)，m＋n)．
∴消去m，n，可得y2－＝1(y>0)，
∴轨迹C的方程为y2－＝1(y>0)．
(2)由(1)知，y＝，即y′＝.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
kQM＝＝，kQN＝＝.
∴lQM：y＝(x－x1)＋y1，即lQM：x1x－3y1y＋3＝0.
∵Q在直线QM上，∴x0x1－y1＋3＝0，①
同理可得x0x2－y2＋3＝0.②
由①②可知，lMN：x0x－y＋3＝0，
∴直线MN过定点(0,2)．
由以上可知，设直线MN的方程为y＝kx＋2，易知k＝，且|k|<，将直线MN的方程代入曲线C的方程得(3k2－1)x2＋12kx＋9＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－7，
∴k＝±，∴x0＝±.
14.(2022·鹤壁淇县检测)如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在直线上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
[解析] 圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，
∵·＝0，＝2，∴MQ⊥AP，点M是AP的中点，即QM是线段AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2，
又|AC|＝2>2，依据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，
因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
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