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第八章 第四节
一、选择题
1．(文)(2022·长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 先将x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.
(理)椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 由椭圆的定义，d1＋d2＝2a，
又由题意得d1＋d2＝4c，∴2a＝4c，∴e＝＝.
2．(文)已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5
C．7 D．8
[答案] D
[分析] 方程表示椭圆时，分母都大于0，又焦点在y轴上，∴y2项的分母较大，依据焦距为4列方程求解．
[解析] 由题意知，m－2>10－m>0，∴6<m<10，
∵焦距为4，∴c2＝4，∴(m－2)－(10－m)＝4，
∴m＝8.
(理)(2021·云南省名校统考)已知k＜4，则曲线＋＝1和＋＝1有( )
A．相同的准线 B．相同的焦点
C．相同的离心率 D．相同的长轴
[答案] B
[解析] ∵k<4，∴曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，
又∵(9－k)－(4－k)＝9－4＝5，
∴两椭圆有相同的焦点．
3．(文)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] D
[解析] 2a＝12，∴a＝6，∵e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选D.
(理)(2022·佛山月考)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为( )
A．1 B．
C．2 D．
[答案] D
[解析] 由题意知，c2＝a2－b2＝4－1＝3，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.
4．(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. B．－1
C.－1或 D．
[答案] C
[解析] 当∠F1PF2为直角时，P为椭圆短轴端点，∴b＝c，∴＝，∴e＝；当∠F1F2P或∠F2F1P为直角时，＝2c，∴b2＝2ac，∴a2－c2＝2ac，∴e2＋2e－1＝0，
∴e＝－1.
5．(文)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] B
[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
(理)P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则·等于( )
A．3 B．
C．2 D．2
[答案] D
[解析] 由题意可得|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝4，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°
＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
所以4＝42－3|PF1||PF2|，|PF1||PF2|＝4，
·＝||||·cos60°＝4×＝2，故选D.
6．(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1(a>b>0)两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] A
[解析] ∵|F1F2|为定值，∴当P在短轴端点时，S△F1PF2最大，
∵∠F1PF2＝，∴∠PF1F2＝，∴tan＝，
∵c＝3，∴b＝，
∴a2＝b2＋c2＝12，椭圆方程为＋＝1.
二、填空题
7．(文)已知＋＝1(m>0，n>0)，则当mn取得最小值时，椭圆＋＝1的离心率是________．
[答案]
[解析] ∵m>0，n>0
∴1＝＋≥2，
∴mn≥8，当且仅当＝，即n＝2m时等号成立，
由解得m＝2，n＝4.
即当m＝2，n＝4时，mn取得最小值8，
∴离心率e＝＝.
(理)已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程＋＝1表示椭圆的概率为________．
[答案]
[解析] 由条件≥2，∴－π≤k≤π，
当0<k≤π且k≠3时，方程＋＝1表示椭圆，
∴概率P＝.
8．(2022·辽宁理，15)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
[答案] 12
[解析] 如图．
设MN与椭圆的交点为D，由中位线定理．
|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)
由椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.
∴|AN|＋|BN|＝12.
9．(2022·山东济南二模)若椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)和椭圆C2：＋＝1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出以下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2确定没有公共点；②>；
③a－a＝b－b；④a1－a2<b1－b2.
其中，全部正确结论的序号是________．
[答案] ①③④
[解析] 由于两椭圆焦点相同，且a1>a2，故b1>b2，因此两椭圆必无公共点，即命题①为真命题；又由于两椭圆焦点相同，a1>a2，ab＝a(a－c2)<a(a－c2)＝ab，故<，即命题②为假命题；由焦点相同得a－b＝a－b，故a－a＝b－b，即命题③为真命题；由于a－a＝b－b，即(a1－a2)(a1＋a2)＝(b1－b2)(b1＋b2)⇒＝<1，故有a1－a2<b1－b2，即命题④为真命题，综上①③④为真命题．
三、解答题
10．(文)(2021·福建四地联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx－2与椭圆C交于A、B两点，点P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直线l的方程．
[解析] (1)由已知得2a＝6,2c＝2，解得a＝3，c＝，
∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由消去y得(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0，
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，解得k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·－4＝－，
∴AB中点坐标E(，－)，
∵|PA|＝|PB|，∴PE⊥AB，kPE·kAB＝－1，
∴·k＝－1，解得k＝±1.
经检验，符合题意，所以直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.
(理)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
[解析] (1)由已知得，c＝2，＝，
解得a＝2，
又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则
x0＝＝－，
y0＝x0＋m＝.
由于AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝＝－1.
解得m＝2，
此时方程①为4x2＋12x＝0，
解得x1＝－3，x2＝0，
所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝3，
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
一、选择题
11．若直线mx＋ny＝4和圆x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
[答案] B
[解析] ∵直线与圆无交点，∴>2，∴m2＋n2<4，∴点(m，n)在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m，n)在椭圆内，故过点(m，n)的直线与椭圆有两个交点．
12．椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若2＝＋，则该椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 由2＝＋知F1是AF2的中点，
∴a－c＝2c，∴a＝3c，e＝.
13．(2022·湖南六校联考)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则( )
A．t＝2
B．t>2
C．t<2
D．t与2的大小关系不确定
[答案] A
[解析] 如图，
P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a，所以t＝a＝2.故选A.
14．(文)(2022·陕西西工大附中适应性训练)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连线AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 在△ABF中，由|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，得|BF|＝8，设椭圆的右焦点为E，由对称性知，|AE|＝8，且△AEF为直角三角形，|EF|＝10，∴2a＝|AF|＋|AE|＝14.∴e＝＝＝.
(理)(2022·包头三十三中期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B．(，1)
C．(0，) D．(－1,1)
[答案] D
[解析] 依据正弦定理得＝，所以由＝可得＝，即＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，即|PF2|＝.由于a－c<|PF2|<a＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<<a＋c，即1－<<1＋，所以1－e<<1＋e，即所以解得e>－1.又由于e<1，所以－1<e<1，即e∈(－1,1)，选D.
二、填空题
15．(2021·兰州名校检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设＝e，则该椭圆的离心率e＝________.
[答案]
[解析] 由于点A、B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以点A、B的坐标分别是(－，0)、(0，a)．设点M的坐标是(x0，y0)，
由|AM|＝e|AB|，得
由于点M在椭圆上，所以＋＝1，将(*)式代入，得＋＝1，整理得，e2＋e－1＝0，解得e＝.
16．直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．
[答案]
[解析] 设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y＝x＋a代入＋y2＝1中整理得，3x2＋4ax＋2(a2－1)＝0，由Δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a＝±，两平行直线x－y＝0与x－y＋＝0的距离d＝，将y＝x代入＋y2＝1中得，x1＝－，x2＝，
∴|AB|＝|－(－)|＝，
∴S△ABC＝|AB|·d＝××＝.
三、解答题
17．(文)(2022·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心C.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．
[解析] (1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋)2＝6，
圆心C(2，－)，半径r＝.
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则
所以
所以所求椭圆的方程是＋＝1.
(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，
∵|F2C|＝＝<.
∴F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线．
设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，
点C(2，－)到直线l的距离为d＝＝，
化简得5k2＋4k－2＝0，解得k＝或k＝－.
故l的方程为x－5＋2＝0或x＋y＋2＝0.
(理)(2022·安徽“江南十校”联考)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为.
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)若直线l：x＝my＋q(m≠0)与椭圆Γ交于不同的两点A，B，设点A关于椭圆长轴的对称点为A1，试求A1，F，B三点共线的充要条件．
[解析] (1)设椭圆Γ的标准方程是＋＝1(a>b>0)．
由题意知a＝2c，bc＝，所以a＝2，b＝，
椭圆Γ的标准方程是＋＝1.
(2)联立⇒(3m2＋4)y2＋6mqy＋(3q2－12)＝0，
由Δ＝12[3m2q2－(3m2＋4)(q2－4)]＝48(3m2＋4－q2)>0，得3m2＋4－q2>0.①
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，－y1)，y1＋y2＝，y1y2＝，
由于F(1,0)，所以＝(x1－1，－y1)，＝(x2－1，y2)，
故A1，F，B三点共线，∴∥，
∴(x1－1)y2－(x2－1)(－y1)
＝(my1＋q－1)y2＋(my2＋q－1)y1
＝2my1y2＋(q－1)(y1＋y2)
＝2m·＋(q－1)·
＝＝0⇔q＝4(m≠0)，②
由①②知A1，F，B三点共线的充要条件是|m|>2，且q＝4.
18．(文)(2021·石家庄五校联考)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，并且经过点(，)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率为k的直线l经过点(0，－2)，且与椭圆交于不同的两点A，B，求△OAB面积的最大值．
[解析] (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义可得，2a＝＋＝2.
∴a＝.又c＝，∴b＝1，
故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx－2，
由消去y得，(1＋3k2)x2－12kx＋9＝0，
依题意Δ＝36k2－36>0，∴k2>1，(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝×，
由点到直线的距离公式得d＝，
∴S△OAB＝×××
＝.
设＝t(t>0)，则k2＝t2＋1，
∴S△OAB＝6×＝＝≤，
当且仅当t＝时，上式取等号，
所以，△OAB面积的最大值为.
(理)(2022·新课标全国Ⅰ理)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
[分析] (1)由过A(0，－2)，F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c，再由e＝＝，可求a，由b2＝a2－c2可求出b2，则椭圆E的方程可求．
(2)由题意知动直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，写出直线方程，并与椭圆方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d，则由S△OPQ＝|PQ|·d，可将S△OPQ表示成关于k的函数，转化为求函数f(k)的最大值问题．留意k应使得一元二次方程的判别式大于0.
[解析] (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1中消去y得，
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，
即k2>时，x1,2＝，
从而|PQ|＝|x1－x2|
＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
由于t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为
y＝x－2或y＝－x－2.
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