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第5讲 复 数
一、选择题
1．复数的共轭复数是( )．
A．－i B.i C．－i D．i
解析 ＝＝i，∴的共轭复数为－i.
答案 C
2．复数＝( )．
A．i B．－i
C．－－i D．－＋i
解析 由于＝＝＝i，故选择A.
答案 A
3.在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由题知，＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，
所以复数＋z2对应的点为(1,1)，其位于第一象限．
答案 A
4．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，假如|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是 ( )．
A．－1<a<1 B．a>1
C．a>0 D．a<－1或a>1
解析 |z1|＝，|z2|＝，∴<，∴－1<a<1.故选A.
答案 A
5．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是 ( )．
A．－3＋2i B．3＋2i
C．－2＋3i D．2＋3i
解析 Δ＝62－4×13＝－16，∴x＝＝－3±2i.
答案 A
6．设z是复数，f(z)＝zn(n∈N*)，对于虚数单位i，则f(1＋i)取得最小正整数时，对应n的值是( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 f(1＋i)＝(1＋i)n，则当f(1＋i)取得最小正整数时，n为8.
答案 D
7．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为 ( )．
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
解析 z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.
答案 C
8．已知复数z满足z(1＋i)＝1＋ai(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z在复平面内对应的点不行能位于 ( )．
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由条件可知：z＝＝＝＋i；当<0，且>0时，a∈∅，所以z对应的点不行能在其次象限，故选B.
答案 B
9．在复数集C上的函数f(x)满足f(x)＝则f(1＋i)等于 ( )．
A．2＋i B．－2 C．0 D．2
解析 ∵1＋i∉R，∴f(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.
答案 D
10．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的 ( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，若其对应的点在第四象限，则a＋2>0，且1－2a<0，解得a>.即“a>”是“点M在第四象限”的充要条件．
答案 C
二、填空题
11．设i为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．
解析 由于(1＋i)5＝(1＋i)4(1＋i)＝(2i)2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i，所以它的虚部为－4.
答案 －4
12．已知复数z满足(2－i)z＝1＋i，i为虚数单位，则复数z＝________.
解析 ∵(2－i)z＝1＋i，∴z＝＝＝＝＋i.
答案 ＋i
13．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则z的实部是________．
解析 由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，即z＝1＋3i.
答案 1
14．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数， 则复数1＋ai的模是________．
解析 由于(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0，a2＝1，复数1＋ai的模为＝.
答案
15．设复数z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虚部是实部的2倍，则实数a的值为________．
解析 ∵a∈R，z1＝1－i，z2＝a＋2i，
∴＝＝＝＝＋i，依题意＝2×，解得a＝6.
答案 6
16．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
解析 ∵a，b∈R，且＝1－bi，
则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
∴∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
答案
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