【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第8章-第4节-椭圆.docx

第八章第四节一、选择题1(文)(2022长春模拟)椭圆x24y21的离心率为()A. B. C.D.答案A解析先将x24y21化为标准方程x21，则a1，b，c.离心率e.(理)椭圆1(ab0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A. B C. D答案A解析由椭圆的定义，d1d22a，又由题意得d1d24c，2a4c，e.2(文)已知椭圆1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A4B5C7D8答案D分析方程表示椭圆时，分母都大于0，又焦点在y轴上，y2项的分母较大，依据焦距为4列方程求解解析由题意知，m210m0，6m10，焦距为4，c24，(m2)(10m)4，m8.(理)(2021云南省名校统考)已知k4，则曲线1和1有()A相同的准线B相同的焦点C相同的离心率D相同的长轴答案B解析k|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆(理)P为椭圆1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF260，则等于()A3BC2D2答案D解析由题意可得|F1F2|2，|PF1|PF2|4，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，所以4423|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4，|cos6042，故选D.6(2022豫东、豫北十所名校联考)已知F1(3,0)，F2(3,0)是椭圆1(ab0)两个焦点，P在椭圆上，F1PF2，且当时，F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为()A.1B1C.1D1答案A解析|F1F2|为定值，当P在短轴端点时，SF1PF2最大，F1PF2，PF1F2，tan，c3，b，a2b2c212，椭圆方程为1.二、填空题7(文)已知1(m0，n0)，则当mn取得最小值时，椭圆1的离心率是_答案解析m0，n012，mn8，当且仅当，即n2m时等号成立，由解得m2，n4.即当m2，n4时，mn取得最小值8，离心率e.(理)已知实数k使函数ycoskx的周期不小于2，则方程1表示椭圆的概率为_答案解析由条件2，k，当0b10)和椭圆C2：1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出以下四个结论：椭圆C1和椭圆C2确定没有公共点；aabb；a1a2a2，故b1b2，因此两椭圆必无公共点，即命题为真命题；又由于两椭圆焦点相同，a1a2，aba(ac2)a(ac2)ab，故，即命题为假命题；由焦点相同得abab，故aabb，即命题为真命题；由于aabb，即(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)1，故有a1a2b0)的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：ykx2与椭圆C交于A、B两点，点P(0,1)，且|PA|PB|，求直线l的方程解析(1)由已知得2a6,2c2，解得a3，c，b2a2c23，椭圆C的方程为1.(2)由消去y得(13k2)x212kx30，直线与椭圆有两个不同的交点，144k212(13k2)0，解得k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)4k4，AB中点坐标E(，)，|PA|PB|，PEAB，kPEkAB1，k1，解得k1.经检验，符合题意，所以直线l的方程为xy20或xy20.(理)已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解析(1)由已知得，c2，解得a2，又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x12，m2n2b0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若2，则该椭圆的离心率为()A.BC.D答案B解析由2知F1是AF2的中点，ac2c，a3c，e.13(2022湖南六校联考)已知F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则()At2Bt2Ctb0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连线AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF，则椭圆C的离心率e为()A.BC.D答案A解析在ABF中，由|AB|10，|AF|6，cosABF，得|BF|8，设椭圆的右焦点为E，由对称性知，|AE|8，且AEF为直角三角形，|EF|10，2a|AF|AE|14.e.(理)(2022包头三十三中期末)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为()A(0，1)B(，1)C(0，)D(1,1)答案D解析依据正弦定理得，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|.又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|(e1)2a，即|PF2|.由于ac|PF2|ac(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以acac，即11，所以1e1.又由于e1，所以1eb0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.直线l：yexa与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设e，则该椭圆的离心率e_.答案解析由于点A、B分别是直线l：yexa与x轴、y轴的交点，所以点A、B的坐标分别是(，0)、(0，a)设点M的坐标是(x0，y0)，由|AM|e|AB|，得由于点M在椭圆上，所以1，将(*)式代入，得1，整理得，e2e10，解得e.16直线l：xy0与椭圆y21相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_答案解析设与l平行的直线方程为xya0，当此直线与椭圆的切点为C时，ABC的面积最大，将yxa代入y21中整理得，3x24ax2(a21)0，由16a224(a21)0得，a，两平行直线xy0与xy0的距离d，将yx代入y21中得，x1，x2，|AB|()|，SABC|AB|d.三、解答题17(文)(2022安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2y24x2y0的圆心C.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程解析(1)圆C方程化为(x2)2(y)26，圆心C(2，)，半径r.设椭圆的方程为1(ab0)，则所以所以所求椭圆的方程是1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(2,0)，F2(2,0)，|F2C|b0)的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l：xmyq(m0)与椭圆交于不同的两点A，B，设点A关于椭圆长轴的对称点为A1，试求A1，F，B三点共线的充要条件解析(1)设椭圆的标准方程是1(ab0)由题意知a2c，bc，所以a2，b，椭圆的标准方程是1.(2)联立(3m24)y26mqy(3q212)0，由123m2q2(3m24)(q24)48(3m24q2)0，得3m24q20.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，y1)，y1y2，y1y2，由于F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，故A1，F，B三点共线，(x11)y2(x21)(y1)(my1q1)y2(my2q1)y12my1y2(q1)(y1y2)2m(q1)0q4(m0)，由知A1，F，B三点共线的充要条件是|m|2，且q4.18(文)(2021石家庄五校联考)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(，0)，(，0)，并且经过点(，)(1)求椭圆的标准方程；(2)若斜率为k的直线l经过点(0，2)，且与椭圆交于不同的两点A，B，求OAB面积的最大值解析(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由椭圆的定义可得，2a2.a.又c，b1，故椭圆的标准方程为y21.(2)设直线l的方程为ykx2，由消去y得，(13k2)x212kx90，依题意36k2360，k21，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|，由点到直线的距离公式得d，SOAB.设t(t0)，则k2t21，SOAB6，当且仅当t时，上式取等号，所以，OAB面积的最大值为.(理)(2022新课标全国理)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程分析(1)由过A(0，2)，F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c，再由e，可求a，由b2a2c2可求出b2，则椭圆E的方程可求(2)由题意知动直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，写出直线方程，并与椭圆方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d，则由SOPQ|PQ|d，可将SOPQ表示成关于k的函数，转化为求函数f(k)的最大值问题留意k应使得一元二次方程的判别式大于0.解析(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21中消去y得，(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2，从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.由于t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.