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第九章 第八节
一、选择题
1．到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )
A．y＝16x2 B．y＝－16x2
C．x2＝16y D．x2＝－16y
[答案] C
[解析] ∵动点M到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1，∴动点M到点F(0,4)的距离与它到直线y＝－4的距离相等．依据抛物线的定义可得点M的轨迹是以F(0,4)为焦点，以直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y，故选C．
2．下列各点在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲线上的是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(1，－1) D．(1，－2)
[答案] D
[解析] 验证法，点(0,0)明显不满足方程x2－xy＋2y＋1＝0，当x＝1时，方程变为1－y＋2y＋1＝0，解得y＝－2，∴(1，－2)点在曲线上．故选D．
3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝0，则点P的轨迹方程为( )
A．＋y2＝1 B．x2＋y2＝4
C．y2－x2＝8 D．x2＋y2＝8
[答案] B
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，即·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝－4＋x2＋y2＝0，即得点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
4．若θ是任意实数，则方程x2＋y2cosθ＝4的曲线不行能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
[答案] C
[解析] ∵θ是任意实数，
∴－1≤cosθ≤1.
当－1≤cosθ<0时，方程x2＋y2cosθ＝4为双曲线；
当cosθ＝0时，x＝±2为两条直线；
当0<cosθ<1时，方程x2＋y2cosθ＝4为椭圆；
当cosθ＝1时，方程x2＋y2＝4为圆．
5．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后开放纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P轨迹为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
[答案] A
[解析] ∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，
∴|PA|＝|PQ|，
又∵|PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|.
由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆．
6．如图所示，已知两点A(－2,0)，B(1,0)，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为坐标原点，则点P的轨迹方程是( )
A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)
B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
[答案] C
[解析] 由∠APO＝∠BPO，设P点坐标为(x，y)，
则|PA||PB|＝|AO||BO|＝2，即|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
整理得(x－2)2＋y2＝4，且y≠0.
二、填空题
7．已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦，且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是________．
[答案] x2＋y2＝16
[解析] 设BC中点为P(x，y)，则OP⊥BC，
∵|OC|＝5，|PC|＝3，∴|OP|＝4，∴x2＋y2＝16.
8．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，则动点C的轨迹方程是________．
[答案] x2＋＝1
[解析] 由题意设A(xA,0)，B(0，yB)，＝(x－xA，y)，＝(－x，yB－y)，
∵＝2，
∴⇒
由x＋y＝9⇒9x2＋y2＝9⇒x2＋＝1.
9．过点P(1,1)且相互垂直的两条直线l1与l2分别与x，y轴交于A，B两点，则AB的中点M的轨迹方程为________．
[答案] x＋y－1＝0
[解析] 设M(x，y)，则B(0,2y)，A(2x,0)，由题意知·＝0，
即(2x－1，－1)(－1,2y－1)＝0，化简得x＋y－1＝0.
三、解答题
10.如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
[解析] 设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2x－x1,2y－y1)．
∵点N在直线x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2， ①
又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，
∴＝1.即x－y＋y1－x1＝0. ②
由①、②联立，解得
又Q在双曲线x2－y2＝1上，
∴x－y＝1，
即(x＋y－1)2－(x＋y－1)2＝1整理得
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0，这就是所求动点P的轨迹方程.
一、选择题
1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
[答案] A
[解析] 设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)，
∵＝λ1＋λ2，
∴，解得
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
2．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>4)
[答案] C
[解析] 如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，
|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
依据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
二、填空题
3．(2021·佛山模拟)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B(－，0)，C(，0)(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．
[答案] －＝1(x>0且y≠0)
[解析] 由正弦定理：－＝×，
即|AB|－|AC|＝|BC|，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．
4．已知O为坐标原点，点P为直线l：x＝－1上一动点，F点坐标为(1,0)，点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且＝λ(λ∈R)，则点M的轨迹方程为________．
[答案] y2＝4x(x≠0)
[解析] 解法一：依题意，得点M在PF的垂直平分线上，则|PM|＝|FM|，又MP＝λ，
∴MP∥OF，MP⊥l.故点M在以F为焦点，以l为准线的抛物线上，
∴点M的轨迹方程为y2＝4x(x≠0)．
解法二：依题意，得点M在PF的垂直平分线上，
则|PM|＝|FM|，
又＝λ，MP∥OF.设M(x，y)，则P(－1，y)，
∴(x＋1)2＝(x－1)2＋y2，化简，得y2＝4x(x≠0)．
三、解答题
5．如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且DO⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|＝4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不变．求曲线C的方程．
[解析] 如图所示，以AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系．
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不变．且点Q在曲线C上，
∴|PA|＋|PB|＝|QA|＋|QB|＝2＝2，
且|PA|＋|PB|>|AB|＝4，
∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的椭圆．
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则2a＝2，∴a＝，c＝2，
从而b＝1.∴曲线C的方程为＋y2＝1.
6．在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
[解析] (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.
∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得c＝±1.
∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.
与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．
即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.
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