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第九章 第三节
一、选择题
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．
圆的圆心为(a,0)，半径为，所以≤，
即|a＋1|≤2，
∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1.
2．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )
A．－1 B．2－
C． D．－1与＋1
[答案] A
[解析] 如图，圆心(2,1)到直线l0：x－y＋1＝0的距离d＝＝，圆的半径为1，则直线l0与l1的距离为－1，所以平移的最短距离为－1.
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
[答案] D
[解析] 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.
4．(文)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
[答案] D
[解析] 考查了圆的标准方程及点到直线的距离．
设圆心为(a,0)，由题意r＝＝，
∴|a|＝5，a<0，
∴a＝－5，
∴方程为(x＋5)2＋y2＝5.
(理)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
[答案] B
[解析] 设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，
∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5，
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
5．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为( )
A．1 B．－1
C． D．2
[答案] D
[解析] 由条件知直线kx＋2y－4＝0是线段PQ的中垂线．∴直线过圆心(－1,3)，∴k＝2.
6．(2022·北京高考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
[答案] B
[解析] 设P(x0，y0)，则＝(x0＋m，y0)，＝(x0－m，y0)，而·＝(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，即x＋y＝m2，即求圆上的点到坐标原点的距离的最大值，由图知m的最大值为|OP|max＝|OC|＋1＝5＋1＝6.
二、填空题
7．圆(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0的圆心坐标为________．
[答案] (－－1)
[解析] 圆方程(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0可化为(x＋)2＋(y＋1)2＝，
所以圆心坐标为(－，－1)．
8．假如圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为________．
[答案] (0，－1)
[解析] 将方程配方得(x＋)2＋(y＋1)2＝－k2＋1.
∴r2＝1－k2>0，rmax＝1，此时k＝0.
∴圆心为(0，－1)．
9．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
[答案] (x－2)2＋y2＝10
[解析] 本题考查了圆的方程的求法，关键是设出圆心坐标．
设圆心坐标为(a,0)，则有：(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，
解得：a＝2，半径r＝＝，
故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
三、解答题
10．依据下列条件，求圆的方程．
(1)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成12两部分的圆的方程；
(2)求经过两已知圆C1x2＋y2－4x＋2y＝0与C2x2＋y2－2y－4＝0的交点，且圆心在直线l2x＋4y＝1上的圆的方程．
[分析] 用直接法或待定系数法．
[解析] (1)如图，由于圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成12两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.
(2)由题意可设圆的方程为λ(x2＋y2－4x＋2y)＋(x2＋y2－2y－4)＝0，(λ≠－1)，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4λx＋(2λ－2)y－4＝0，
圆心坐标为(，)，代入l2x＋4y＝1，得λ＝3.
所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
一、选择题
1．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴均相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．(x－)2＋(y－1)2＝1
[答案] B
[解析] 设圆心为(a，b)(a>0，b>0)，
依题意有＝b＝1，
∴a＝2，b＝1，
∴圆的标准方程(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选B．
2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是( )
A．(4,6) B．[4,6)
C．(4,6] D．[4,6]
[答案] A
[解析] 由于圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4<r<6.
二、填空题
3．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：
①关于直线x＋y＝0对称；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为A．其中叙述正确是________．(要求写出全部正确命题的序号)
[答案] ①③
[解析] 圆心为(－a，a)，半径为|a|，故①③正确．
4．设P(x，y)是圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点，若不等式x＋y＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．
[答案] [－1，＋∞)
[解析] 不等式x＋y＋c≥0恒成立，
即c≥－(x＋y)恒成立．
问题转化为求－(x＋y)的最大值．
设－(x＋y)＝t，
即x＋y＋t＝0，
由＝1得tmax＝－1.
所以c≥－1.
所以c的取值范围是[－1，＋∞)．
三、解答题
5．依据下列条件，求圆的方程.
(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上.
(2)过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4.
[解析] (1)明显，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：
＝，即x＋y－1＝0.
解方程组，得圆心C的坐标为(4，－3)．
又圆的半径r＝|OC|＝5，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ①
将P、Q点的坐标分别代入①得：
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0. ④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②、③、⑤组成的方程组，得
或
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－12＝0，或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在其次象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)摸索求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8，
∵直线y＝x与圆C相切于原点O.
∴O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，
于是有⇒或
由于点C(a，b)在其次象限，故a<0，b>0.
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
则有
解之得x＝或x＝0(舍去)．
所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．
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