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第十二章 第五节
一、选择题
1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为( )
A．1 B．
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
[答案] C
[解析] 等式右边的分母是从1开头的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C．
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
[答案] B
[解析] 由Sn＝>得n>7，又n∈N＋，
所以n≥8.
3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____________( )
A． B．π
C．π D．2π
[答案] B
[解析] 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
4．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，其次步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
[答案] D
[解析] 由条件知，左边是从20,21始终到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.
5．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某人的证明过程如下：
1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.
2°假设n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即<k＋1，则
n＝k＋1时，＝
<＝＝(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案] D
[解析] 本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题．
6．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是( )
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
[答案] D
[解析] (1)当k＝1时，明显只有3(2＋7k)能被9整除．
(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
这就是说，k＝n＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．
二、填空题
7．(2022·陕西高考)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 则f2022(x)的表达式为________．
[答案]
[解析] 考查归纳推理．
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…，
f2022(x)＝.
8．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当其次步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
[答案] 2k＋1
[解析] ∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．
9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为________．
[答案] 2(2k＋1)
[解析] 当n＝k时左边的最终一项是2k，n＝k＋1时左边的最终一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是＝2(2k＋1)．
三、解答题
10．(2022·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)a1＝S1＝2a2－3×12－4×1＝2a2－7①
a1＋a2＝S2＝4a3－3×22－4×2＝4(S3－a1－a2)－20＝4(15－a1－a2)－20，
∴a1＋a2＝8②
联立①②解得，∴a3＝S3－a1－a2＝15－8＝7，
综上a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)由(1)猜想an＝2n＋1，以下用数学归纳法证明：
①由(1)知，当n＝1时，a1＝3＝2×1＋1，猜想成立；
②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝2k＋1，
∴Sk＝3k＋×2＝k2＋2k，
又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，
∴2kak＋1－3k2－4k＝k2＋2k，
∴ak＋1＝2k＋3，
即n＝k＋1时，有ak＋1＝2(k＋1)＋1成立．
由数学归纳法原理知，an＝2n＋1成立.
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
[答案] D
[解析] ∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，
左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，
∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上
(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，其次件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，依据这种规律增加确定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )
A．190 B．715
C．725 D．385
[答案] B
[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项an＝4n－3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为＝2n2－n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n)＝.
当n＝10时，总数为715.
二、填空题
3．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．
[答案] f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
[解析] ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了________项．
[答案] 2k
[解析] 当n＝k时为1＋＋＋…＋，
当n＝k＋1时为1＋＋…＋＋＋…＋，
所以从n＝k到n＝k＋1增加了2k项．
三、解答题
5．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N＋)．
(1)求x2，x3，x4的值；
(2)归纳并猜想{xn}的通项公式；
(3)用数学归纳法证明你的猜想．
[解析] (1)x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，
x4＝f(x3)＝＝.
(2)依据计算结果，可以归纳猜想出xn＝.
(3)证明：①当n＝1时，x1＝＝1，
与已知相符，归纳出的公式成立．
②假设当n＝k(k∈N＋)时，公式成立，即xk＝，
那么，当n＝k＋1时，
有xk＋1＝＝＝＝，
所以，当n＝k＋1时公式也成立．
由①②知，对任意n∈N＋，有xn＝成立．
6．是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．
[解析] 假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立．
当n＝1时，a(b＋c)＝1；
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
解方程组解得
证明如下：
①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．
②假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)；
当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2
＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．
即n＝k＋1时，等式成立．
因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N＋都成立．
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