【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第12章-第5节-数学归纳法(理).docx

第十二章第五节一、选择题1若f(n)1(nN)，则f(1)为()A1BC1D非以上答案答案C解析等式右边的分母是从1开头的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5，故选C2用数学归纳法证明不等式1(nN)成立，其初始值至少应取()A7B8C9D10答案B解析由Sn得n7，又nN，所以n8.3记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_()ABCD2答案B解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).4用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，其次步nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11答案D解析由条件知，左边是从20,21始终到2n1都是连续的，因此当nk1时，左边应为12222k12k，而右边应为2k11.5对于不等式n1(nN)，某人的证明过程如下：1当n1时，11，不等式成立. 2假设nk(kN)时不等式成立，即k1，则nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立. 上述证法()A过程全都正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析本题的证明中，从nk到nk1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题6下列代数式(其中kN)能被9整除的是()A667kB27k1C2(27k1)D3(27k)答案D解析(1)当k1时，明显只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何kN都成立二、填空题7(2022陕西高考)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN， 则f2022(x)的表达式为_答案解析考查归纳推理f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f2022(x).8用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当其次步假设n2k1(kN)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真答案2k1解析n为正奇数，假设n2k1成立后，需证明的应为n2k1时成立9用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从k到k1，左边需要增加的代数式为_答案2(2k1)解析当nk时左边的最终一项是2k，nk1时左边的最终一项是2k2，而左边各项都是连续的，所以nk1时比nk时左边少了(k1)，而多了(2k1)(2k2)因此增加的代数式是2(2k1)三、解答题10(2022广东高考)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解析(1)a1S12a2312412a27a1a2S24a3322424(S3a1a2)204(15a1a2)20，a1a28联立解得，a3S3a1a21587，综上a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，以下用数学归纳法证明：由(1)知，当n1时，a13211，猜想成立；假设当nk时，猜想成立，即ak2k1，Sk3k2k22k，又Sk2kak13k24k，2kak13k24kk22k，ak12k3，即nk1时，有ak12(k1)1成立由数学归纳法原理知，an2n1成立.一、选择题1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2CD(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.2在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，其次件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，依据这种规律增加确定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A190 B715C725 D385答案B解析由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,15,159,15913,1591317，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项an4n3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为2n2n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(1222n2)(12n).当n10时，总数为715.二、填空题3若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.4利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程，由nk到nk1时，左边增加了_项答案2k解析当nk时为1，当nk1时为1，所以从nk到nk1增加了2k项三、解答题5设f(x)，x11，xnf(xn1)(n2，nN)(1)求x2，x3，x4的值；(2)归纳并猜想xn的通项公式；(3)用数学归纳法证明你的猜想解析(1)x2f(x1)，x3f(x2)，x4f(x3).(2)依据计算结果，可以归纳猜想出xn.(3)证明：当n1时，x11，与已知相符，归纳出的公式成立假设当nk(kN)时，公式成立，即xk，那么，当nk1时，有xk1，所以，当nk1时公式也成立由知，对任意nN，有xn成立6是否存在常数a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由解析假设存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN都成立当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立假设nk(kN)时等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即nk1时，等式成立因此存在a，b2，c1使等式对一切nN都成立