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第九章 第七节
一、选择题
1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] C
[解析] 本小题考查内容为双曲线的渐近线．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
比较y＝±x，∴a＝2.
2．(2022·新课标Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B．
C． D．1
[答案] D
[解析] 本题考查双曲线的标准方程及离心率．
由条件知a2＋3＝c2，e＝＝2，∴a＝1，选D．
3．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式．
不妨设顶点(2,0)，渐近线y＝，即x－2y＝0，
∴d＝＝.
4．假如双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是( )
A．4 B．12
C．4或12 D．不确定
[答案] C
[解析] 由双曲线方程，得a＝2，c＝4.
依据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a，
则|PF1|＝|PF2|±2a＝8±4，
∴|PF1|＝4或12，经检验二者都符合题意．
5．(2022·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] A
[解析] 由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则＝2，结合a2＋b2＝c2，c＝5得，a2＝5，b2＝20，
双曲线标准方程为－＝1，选A．
6．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于( )
A． B．2
C． D．2
[答案] B
[解析] 由题意知：F1(－，0)，F2(，0)，
2c＝2，2a＝2.
∵·＝0，∴PF1⊥PF2，
∴|＋|＝2PO＝|F1F2|，∴|＋|＝2.
二、填空题
7．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
[答案] 16
[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算．
依据标准方程可知，a2＝m，b2＝9，而c＝5，
∴c2＝a2＋b2，∴52＝m＋9.∴m＝16.
8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
[答案] 2
[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及离心率等学问．
由双曲线标准方程－＝1知
a2＝m>0，b2＝m2＋4，
∴c2＝a2＋b2＝m＋m2＋4，由e＝得＝5，
∴m>0且＝5，∴m＝2.
9．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
[答案] x2－＝1
[解析] 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴，解得，
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
三、解答题
10．依据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M(，－1)；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
[解析] (1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
∴可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又 ∵双曲线过点M，∴λ＝4×－9＝72.
∴双曲线方程为4x2－9y2＝72，即－＝1.
(2)解法1(设标准方程)
由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，
即c＝5且焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，且c＝5.
又e＝＝，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
解法2(设共焦点双曲线系方程)
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设双曲线方程为－＝1(24<λ<49)．
又e＝，∴＝－1，解得λ＝33.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
一、选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] A
[解析] ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴＝2，∴5b2＝4a2. ①
又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9. ②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
2．(文)(2022·重庆高考)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C．4 D．
[答案] D
[解析] 此题考查双曲线的定义和几何性质及方程的思想．
∵|PF1|－|PF2|＝2a，
∴(2a)2＝b2－3ab，即4a2＝b2－3ab，
即4a2＋3ba－b2＝0，
∴(4a－b)(a＋b)＝0，∴b＝4A．
又∵c2＝b2＋a2，∴c2＝17a2，∴e2＝17即e＝.
(理)(2022·重庆高考)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．3
[答案] B
[解析] 不妨设点P是右支上的一点，由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
|PF1|＝，|PF2|＝，|PF1||PF2|＝×＝，＝，解得3b＝4a，所以离心率为e＝.双曲线的离心率e＝＝.
二、填空题
3．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为________．
[答案] 4
[解析] 设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4.
得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
4．双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点(，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] ∵(＋c)(c－)＝32.
∴c＝b，a＝＝b，e＝＝＝.
三、解答题
5．已知点A(－，0)和点B(，0)，动点C到A、B两点的距离之差的确定值为2，点C的轨迹与直线y＝x－2交于D、E两点，求线段DE的长．
[分析] 求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．
[解析] 设点C(x，y)，则|CA|－|CB|＝±2，依据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线－＝1.(a>0，b>0)
由2a＝2,2c＝|AB|＝2，得a2＝1，b2＝2，
故点C的轨迹方程是x2－＝1，
由，消去y并整理得x2＋4x－6＝0.
由于Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，
故|DE|＝
＝·＝4.
[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)假如直线方程涉及斜率，要留意斜率不存在的状况．
6．(文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，又a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立，整理得
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴，
可得m2>3k2－1且k2≠. ①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，
则x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
由题意，AB⊥MN，
∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，
整理得3k2＝4m＋1， ②
将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4，
又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－.
∴m的取值范围是(－，0)∪(4，＋∞)．
(理)(2022·福建高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1、l2于A，B两点(A、B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.摸索究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
[解析] (1)∵双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，∴＝2，
∴＝2，故c＝a，
从而双曲线E的离心率e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C，
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E只有一个公共点，
则|OC|＝a，|AB|＝4a，
又∵△OAB的面积为8，∴|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为－＝1，若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能是－＝1.
以下证明：当直线l与x轴不垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件，设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意得k>2或k<－2，
则C(－，0)，记A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|得
|－|·|－|＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)，由得，
(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0，∵4－k2<0
∴Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)，
又∵m2＝4(k2－4)，∴Δ＝0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
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