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第九章 第六节
一、选择题
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] 把直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，符合抛物线的定义．
2．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的焦点，则a＝( )
A．1 B．4
C．8 D．16
[答案] C
[解析] 依据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的焦点为(0,2)，依题意则有＝2，解得a＝8.
3．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．y2＝－12x D．x2＝±12y
[答案] D
[解析] 由题意得c＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．
∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.
4．(文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
[答案] C
[解析] 本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等．
设抛物线为y2＝2px，则焦点F，准线x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝×12×6＝36.
(理)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
[答案] B
[解析] 本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系．
由已知得抛物线焦点为F，
∴AF所在直线方程为y＝2.∴A，
∴S△OAF＝×·＝＝4，
∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.
5．(2022·辽宁高考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
[答案] C
[解析] 考查了直线与抛物线的有关学问．
把A(－2,3)代入y2＝2px的准线方程，得p＝4.
∴F为(2,0)
∴kAF＝＝－.正确求出焦点F是关键．
6．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于( )
A．－4p2 B．－3p2
C．－2p2 D．－p2
[答案] A
[解析] ∵OA⊥OB，∴·＝0.①
∴x1x2＋y1y2＝0.
∵A、B都在抛物线上，∴∴
代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.
二、填空题
7．(文)(2021·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
[答案] 2 x＝－1
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
(理)设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点P(k，－2)到点F的距离为4，则k的值为________．
[答案] 4或－4
[解析] 由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则＋2＝4，p＝4，k2＝－2×4(－2)，∴k＝4或－4.
8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.
[答案] 2
[解析] 本题考查了抛物线的标准方程与数学建模力气．如图建立直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，
∴x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝6，∴x＝±，则此时水面宽为2m.
9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________
[答案] y2＝4x
[解析] 设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.
三、解答题
10．(2022·江西高考)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作始终线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
[解析] (1)∵直线AB过定点M(0,2)由分析知直线AB斜率确定存在．
∴可设直线AB的方程为y＝kx＋2，
由，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－8.
又直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2.
解得交点D的坐标为⇒
又∵x1x2＝－8，x＝4y1.
∴y＝＝＝＝－2.
∴点D在定直线y＝－2(x≠0)上
(2)由题意分析可知，切线l的斜率存在且不为0，
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)代入x2＝4y并化简得x2－4ax－4b＝0.
∵l为切线，∴△＝(4a)2＋16b＝0，化简得b＝－a2.
∴切线方程为y＝ax－a2.
分别令y＝2，y＝－2得N1、N2点的坐标为N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)，
则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8
∴|MN2|2－|MN1|2为定值8.
一、选择题
1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假如直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
[答案] B
[解析] 如图，kAF＝－，∴∠AFO＝60°，
∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，即P点的纵坐标为4，
∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故选B．
2．(文)已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种情形都有可能
[答案] B
[解析] 如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，
则MD＝MF，ON＝OF，
∴AB＝＝＝＝，∴这个圆与y轴相切．
(理)(2022·台州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形；②△PMN不愿定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不愿定与抛物线相切．其中正确的命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] A
[解析] 由于|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．
二、填空题
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足NF＝MN，则∠NMF＝________.
[答案]
[解析] 过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，
∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.
又cos∠MNP＝，
∴∠MNP＝，即∠NMF＝.
4．设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，则P点的坐标为________．
[答案] (1,1)
[解析] 解法1：设P点坐标为(x0，x)，由点到直线的距离公式得d＝＝|x－2x0＋4|
＝|(x0－1)2＋3|≥.
由上式可知当x0＝1时，dmin＝.
∴点P的坐标为(1,1)．
解法2：如图，平移2x－y－4＝0这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短．
设P(x0，y0)，∵y′＝2x.
∴过P点的切线斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝2.
∴x0＝1，y0＝x＝1，故P点坐标为(1,1)．
三、解答题
5．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．
[解析] 由题意得kOD＝，
∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，
∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵以AB为直径的圆过点O，
∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)
＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，
∴＋(－5p)＝0，∴p＝，
∴抛物线方程为y2＝x.
6．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
[分析] (1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解．
(2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率．
[解析] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
∵点P(1,2)在抛物线上，
∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，
准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴kPA＝－kPB．
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
y＝4x1 ①
y＝4x2 ②
∴＝－，
∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得直线AB的斜率
kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
[点评] (1)求抛物线的标准方程常接受待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．
(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1＋y2可得如下等式：
由y＝2px1 ①
y＝2px2 ②
②－①得y－y＝2p(x2－x1)，
∴＝(x1≠x2)，∴kAB＝.
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