资源描述
[基础达标]
1．(2022·河南南阳一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是( )
A．a2＋a15 B．a2·a15
C．a2＋a9＋a16 D．a2·a9·a16
解析：选C．由于S17为一确定常数，依据公式可知，a1＋a17为一确定常数，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，∴a2＋a16＋a9为一确定常数．
2．若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度后，火箭与飞船分别，则这一过程需要的时间是( )
A．10秒钟 B．13秒钟
C．15秒钟 D．20秒钟
解析：选C．设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度．由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x＋×2＝240，
即x2＋x－240＝0，解得x＝15或x＝－16(舍去)．
3．已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )
A．35 B．33
C．31 D．29
解析：选C．由a2·a3＝a1·a4＝2a1，得a4＝2.
又a4＋2a7＝，∴a7＝.
设等比数列{an}的公比为q，则a7＝a4q3，
∴q3＝，∴q＝，a1＝16，
∴S5＝＝31.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}( )
A．确定是等差数列
B．确定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不行能是等差数列，也不行能是等比数列
解析：选C．∵Sn＝an－1(a≠0)，∴an＝，即an＝.当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列．
5．在如图所示的程序框图中，当输出T的值最大时，n的值等于( )
A．6 B．7
C．6或7 D．8
解析：选C．该程序框图的实质是输出以a1＝64为首项，为公比的等比数列{an}的前n项的乘积Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…，15)，由于a7＝1，所以在Tn(n＝1，2，…，15)中，T6＝T7且最大．
6．夏季山上的温度从山脚起，每上升100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，则此山相对于山脚处的高度是________米．
解析：∵每上升100米温度降低0.7 ℃，
∴该处的温度变化是一个等差数列问题．
山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，d＝－0.7.
∴26＋(n－1)(－0.7)＝14.8，解之可得n＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．
答案：1 600
7．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．
解析：由等比数列性质得，a1a2…a7a8＝(a4a5)4＝16，又an>0，∴a4a5＝2.再由基本不等式，得a4＋a5≥2＝2.∴a4＋a5的最小值为2.
答案：2
8．设Sn是数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．
解析：数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，bn＝2n－1.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，所以＝4，因此数列{bn}是“和等比数列”．
答案：是
9．在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，
∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，
∴Tn＝－bn＋1.①
∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)，②
①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)，
∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1.
令n＝1，得b1＝－b1＋1，
∴b1＝.
∴{bn}是一个以为首项，为公比的等比数列．
10．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．
(1)求该企业2022年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开头年底分红后的资金超过32 500万元．
解：设an为(2 010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1 000－500＝1 500，a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．
∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，
∴即数列{an－500}是首项为a1－500＝1 000，公比为2的等比数列．
∴an－500＝1 000×2n－1，
∴an＝1 000×2n－1＋500.
(1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，
∴该企业2022年年底分红后的资金为8 500万元．
(2)由an>32 500，即2n－1>32，得n>6，
∴该企业从2021年开头年底分红后的资金超过32 500万元．
[力气提升]
1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )
A．24 B．32
C．48 D．64
解析：选D．依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又由于an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
2．将石子摆成如图的梯形外形，称数列5，9，14，20，…为梯形数，依据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝( )
A．2 020×2 014 B．2 020×2 013
C．1 010×2 014 D．1 010×2 013
解析：选D．结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋n＋2，所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝4×2 013＋＝2 013×1 010.
3．设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 014项和为________．
解析：由“凸数列”的定义，可知，b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，故数列{bn}是周期为6的周期数列．又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，故数列{bn}的前2 014项和S2 014＝b1＋b2＋b3＋b4＝1－2－3－1＝－5.
答案：－5
4．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．
下列是对“等方差数列”的推断：
①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；
②已知数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等方差数列；
③{(－1)n}是等方差数列；
④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a}是公差为p的等差数列，故①正确．对于②，取an＝，则数列{an}是等方差数列，但数列{a}不是等方差数列，故②错．对于③，由于[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若a－a＝p(n≥2，n∈N*)，则a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，故④正确．
答案：①③④
5．(2022·四川成都市诊断性检测)设函数f(x)＝x2，过点C1(1，0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*.
(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式；
(2)设直线ln与函数g(x)＝logx的图象相交于点Bn，记bn＝n·n(其中O为坐标原点)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)证明：以点An－1(an－1，a)(n≥2)为切点的切线方程为y－a＝2an－1(x－an－1)．
当y＝0时，得x＝an－1，即an＝an－1.
又∵a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
∴通项公式为an＝()n－1.
(2)据题意，得Bn(()n－1，n－1)．
∴bn＝n·n＝()n－1＋()n－1·(n－1)＝n()n－1.
∵Sn＝1×()0＋2×()1＋…＋n×()n－1，
Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋n×()n，
两式相减，得Sn＝1×()0＋1×()1＋…＋()n－1－
n×()n＝－n×()n.
化简，得Sn＝－(＋)×()n＝－.
6．(选做题)(2022·浙江嘉兴质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2－an(n∈N*)．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝＋＋＋…＋，试比较An与的大小．
解：(1)证明：a1＝S1＝2－3a1得a1＝，
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1得＝×，
所以是首项和公比均为的等比数列．
(2)由(1)得＝，于是2n·an＝n，
Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
所以＝2，
于是An＝2＝，
而＝，所以问题转化为比较与的大小．
设f(n)＝，g(n)＝，
当n≥4时，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)<1，
所以f(n)>g(n)．
阅历证当n＝1，2，3时，仍有f(n)>g(n)．
因此对任意的正整数n，都有f(n)>g(n)，
即An<.
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