资源描述
[基础达标]
1．设函数f(x)＝2|x－1|＋|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若不等式f(x)<|m－2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝其图象如图所示，
由图象可知f(x)在(－∞，1]递减，在[1，＋∞)上递增．
令－x＋4＝4或3x＝4，得x＝0或x＝，
所以不等式f(x)≥4的解集是{x|x≤0或x≥}．
(2)f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
所以f(x)≥f(1)＝3.
由于不等式f(x)<|m－2|的解集是非空集合，
所以|m－2|>3，
解之得，m<－1或m>5，
即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(5，＋∞)．
2．(2022·高考辽宁卷)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若|f(x)－2f()|≤k恒成立，求k的取值范围．
解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当a＝0时，不合题意．
当a<0时，≤x≤－.
∴⇒，冲突．
当a>0时，－≤x≤，得a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f()＝|2x＋1|－2|x＋1|，
则h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
即k的取值范围是[1，＋∞)．
3．(2021·高考辽宁卷)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，
解得x≤1；
当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，
解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)＝2|x|－2|x－a|，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
4．已知f(x)＝，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.
证明：∵|f(a)－f(b)|＝|－|
＝
＝ .
又|a＋b|≤|a|＋|b|＝＋<＋，
∴<1.
∵a≠b，∴|a－b|>0，
∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.
[力气提升]
1．(2022·福建厦门模拟)已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)求函数y＝f(－x)＋f(x＋5)的最小值．
解：(1)∵|x－1|>2，∴x－1>2或x－1<－2，
∴x>3或x<－1.
∴原不等式的解集是{x|x>3或x<－1}．
(2)f(－x)＋f(x＋5)＝|－x－1|＋|x＋4|≥|－x－1＋x＋4|＝3，
∴y＝f(－x)＋f(x＋5)的最小值是3.
2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A，B)为ρ(A，B)＝|x2－x1|＋|y2－y1|.对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若点C(x，y)是平面xOy上的点，试证明ρ(A，C)＋ρ(C，B)≥ρ(A，B)．
证明：∵ρ(A，C)＝|x－x1|＋|y－y1|，ρ(C，B)＝|x2－x|＋|y2－y|，ρ(A，B)＝|x2－x1|＋|y2－y1|，
∴ρ(A，C)＋ρ(C，B)
＝|x－x1|＋|y－y1|＋|x2－x|＋|y2－y|
＝(|x－x1|＋|x2－x|)＋(|y－y1|＋|y2－y|)
≥|(x－x1)＋(x2－x)|＋|(y－y1)＋(y2－y)|
＝|x2－x1|＋|y2－y1|
＝ρ(A，B)．
3．(2022·河南郑州质检)设函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)不等式f(x)≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a的值；
(2)若g(x)＝的定义域为R，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)≤a得≤x≤，
由于不等式f(x)≤a的解集为{x|0≤x≤1}，
所以
解得a＝1.
(2)由g(x)＝
＝的定义域为R知对任意实数x，有|2x－1|＋|2x＋1|＋m≠0恒成立．
由于|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，
所以m>－2，
即实数m的取值范围为(－2，＋∞)．
4．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)证明：|c|≤1；
(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；
(3)设a>0，当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．
解：(1)证明：∵当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，
∴取x＝0，有|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.
(2)证明：∵g(x)＝ax＋b的图象是一条直线，
∴只需证明|g(－1)|≤2，且|g(1)|≤2.
由已知|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，又由(1)知|c|≤1，
∴|g(－1)|＝|－a＋b|＝|－f(－1)＋c|≤|f(－1)|＋|c|≤1＋1＝2，|g(1)|＝|a＋b|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤1＋1＝2.
∴|g(－1)|≤2，且|g(1)|≤2，
∴当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.
(3)∵a>0，∴g(x)在(－1，1)上是增函数．
又∵当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，
∴g(1)＝2.∴a＋b＝f(1)－c＝2.
∵－1≤c＝f(1)－2≤1－2＝－1，
∴c＝f(0)＝－1.
∵当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，
即f(x)≥f(0)，
∴由二次函数的性质得直线x＝0为二次函数f(x)的图象的对称轴．
∴－＝0，即b＝0，∴a＝2.
∴f(x)＝2x2－1.
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