【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第9章-第6节-抛物线.docx

第九章第六节一、选择题1若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案D解析把直线x1向左平移一个单位，两个距离就相等了，符合抛物线的定义2已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的焦点，则a()A1B4C8D16答案C解析依据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的焦点为(0,2)，依题意则有2，解得a8.3抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()Ax24yBx24yCy212xDx212y答案D解析由题意得c3，抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，3)该抛物线的标准方程为x212y或x212y.4(文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18B24C36D48答案C解析本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等设抛物线为y22px，则焦点F，准线x，由|AB|2p12，知p6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S12636.(理)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24xBy28xCy24xDy28x答案B解析本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系由已知得抛物线焦点为F，AF所在直线方程为y2.A，SOAF4，a264，a8，抛物线的方程为y28x.5(2022辽宁高考)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD答案C解析考查了直线与抛物线的有关学问把A(2,3)代入y22px的准线方程，得p4.F为(2,0)kAF.正确求出焦点F是关键6设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px(p0)上的两点，并且满足OAOB，则y1y2等于()A4p2B3p2C2p2Dp2答案A解析OAOB，0.x1x2y1y20.A、B都在抛物线上，代入得y1y20，解得y1y24p2.二、填空题7(文)(2021北京高考)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_答案2x1解析本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由1知p2，则准线方程为x1.(理)设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点P(k，2)到点F的距离为4，则k的值为_答案4或4解析由题意可设抛物线的方程为x22py(p0)，则24，p4，k224(2)，k4或4.8下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽_m.答案2解析本题考查了抛物线的标准方程与数学建模力气如图建立直角坐标系设抛物线方程为x22py，代入P(2，2)得2p2，x22y，当y3时，x26，x，则此时水面宽为2m.9已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_答案y24x解析设抛物线的方程为y2ax(a0)，由方程组得交点A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a4，故所求抛物线的方程为y24x.三、解答题10(2022江西高考)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作始终线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值解析(1)直线AB过定点M(0,2)由分析知直线AB斜率确定存在可设直线AB的方程为ykx2，由，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28.又直线AO的方程为yx，BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为又x1x28，x4y1.y2.点D在定直线y2(x0)上(2)由题意分析可知，切线l的斜率存在且不为0，设切线l的方程为yaxb(a0)代入x24y并化简得x24ax4b0.l为切线，(4a)216b0，化简得ba2.切线方程为yaxa2.分别令y2，y2得N1、N2点的坐标为N1(a,2)，N2(a，2)，则|MN2|2|MN1|2(a)242(a)28|MN2|2|MN1|2为定值8.一、选择题1设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足假如直线AF的斜率为，那么|PF|()A4B8C8D16答案B解析如图，kAF，AFO60，|BF|4，|AB|4，即P点的纵坐标为4，(4)28x，x6，|PA|8|PF|，故选B2(文)已知点M是抛物线y22px(p0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A相交B相切C相离D以上三种情形都有可能答案B解析如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MDMF，ONOF，AB，这个圆与y轴相切(理)(2022台州模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：PMN必为直角三角形；PMN不愿定为直角三角形；直线PM必与抛物线相切；直线PM不愿定与抛物线相切其中正确的命题是()ABCD答案A解析由于|PF|MF|NF|，故FPMFMP，FPNFNP，从而可知MPN90，故正确，错误；令直线PM的方程为yx，代入抛物线方程可得y22pyp20，0，所以直线PM与抛物线相切，故正确，错误二、填空题3已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足NFMN，则NMF_.答案解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PNNF，PNMN，NMFMNP.又cosMNP，MNP，即NMF.4设P是抛物线yx2上的点，若P点到直线2xy40的距离最小，则P点的坐标为_答案(1,1)解析解法1：设P点坐标为(x0，x)，由点到直线的距离公式得d|x2x04|(x01)23|.由上式可知当x01时，dmin.点P的坐标为(1,1)解法2：如图，平移2xy40这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短设P(x0，y0)，y2x.过P点的切线斜率ky|xx02x02.x01，y0x1，故P点坐标为(1,1)三、解答题5已知直线AB与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，ODAB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程解析由题意得kOD，ABOD，kAB2，又直线AB过点D(2,1)，直线AB的方程为y2x5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆过点O，0，即x1x2y1y20，由得4x2(2p20)x250，x1x2，x1x2，y1y2(2x15)(2x25)4x1x210(x1x2)25255p50255p，(5p)0，p，抛物线方程为y2x.6如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率分析(1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解(2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率解析(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1y4x2，y12(y22)y1y24.由得直线AB的斜率kAB1(x1x2)点评(1)求抛物线的标准方程常接受待定系数法利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1y2可得如下等式：由y2px1y2px2得yy2p(x2x1)，(x1x2)，kAB.