资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．下列抽取样本的方式是简洁随机抽样的有( )
①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；
③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A.①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．
2．(2021·高考湖南卷)某学校有男、女同学各500名，为了解男、女同学在学习爱好与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体同学中抽取100名同学进行调查，则宜接受的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
解析：选D.由于是调查男、女同学在学习爱好与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．
3．从2 014名同学中选取10名同学参与全国数学联赛，若接受下面的方法选取：先用简洁随机抽样法从2 014人中剔除4人，剩下的2 010人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
解析：选C.从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于.
4．(2022·高考四川卷)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
解析：选B.由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.
5．为了调查观众对电影《小时代》的生疏，一个网站在登录网站的全部网民中，收回有效帖子共10.4万份，其中持各种态度的人数统计在下表中
很宠爱
宠爱
还行
一般般
40 000
32 000
24 000
8 000
为了了解网民具体的想法和意见，此网站打算接受分层抽样从中选出1 300份，则在很宠爱此电影的网贴中应抽取的份数为( )
A．500 B．400
C．300 D．100
解析：选A.应当首先确定抽样的比例，然后再依据各层人数确定各层要抽取的人数，由于40 000∶32 000∶24 000∶8 000＝5∶4∶3∶1，所以×1 300＝500，故抽取500份．
二、填空题
6．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽到的概率为0.2，则该单位青年职员的人数为________．
解析：总人数为＝1 000，该单位青年职员的人数为1 000×＝400.
答案：400
7．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品平安检测．若接受分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．
解析：∵四类食品的每一种被抽到的概率为＝，∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为(10＋20)×＝6.
答案：6
8．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、12、8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
解析：由已知得抽样比为＝，
∴丙组中应抽取的城市数为8×＝2.
答案：2
三、解答题
9．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检验这批产品的质量，打算接受分层抽样的方法进行抽样，已知在甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列，求乙生产线生产的产品数．
解：由于在甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列，则可设三项分别为a－x，a，a＋x.故样本容量为(a－x)＋a＋(a＋x)＝3a，因而每个个体被抽到的概率为＝，所以乙生产线生产的产品数为＝5 600.
10．由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已进展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高，然而也有部分公众对该活动的实际效果与影响提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，在全部参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
态度
年龄
支持
保留
不支持
20岁以下
800
450
200
20岁以上(含20岁)
100
150
300
(1)在全部参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；
(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人年龄在20岁以下的概率．
解：(1)由题意得，
＝，
求得n＝100.
(2)设所抽取的5人中，有m人年龄在20岁以下，
则＝，解得m＝2，
即20岁以下抽取了2人，分别记作A1，A2；20岁以上(含20岁)抽取了3人，分别记作B1，B2，B3，
则从中任取2人的全部基本大事为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)，共10个．
其中至少有1人年龄在20岁以下的基本大事为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，共7个．
所以从这5人中任意抽取2人，至少有1人年龄在20岁以下的概率为.
[力气提升]
一、选择题
1．利用简洁随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若其次次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知＝，∴n＝28，∴P＝＝.
2．将参与夏令营的600名同学编号为：001，002，…，600.接受系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名同学分住在三个营区，从001到300住在第1营区，从301到495住在第2营区，从496到600住在第3营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26，16，8 B．25，16，9
C．25，17，8 D．24，17，9
解析：选C.由题意知，被抽中的同学的编号构成以3为首项，12为公差的等差数列{an}，其通项an＝12n－9(1≤n≤50，n∈N*)．令1≤12n－9≤300，得1≤n≤25，故第1营区被抽中的人数为25；令 301≤12n－9≤495，得26≤n≤42，故第2营区被抽中的人数为17；令496≤12n－9≤600，得43≤n≤50，故第3营区被抽中的人数为8.
二、填空题
3．(2022·黄冈市高三质量检测)某校共有同学1 000名，其中高一班级有380人，高二班级男生有180人，已知在全校同学中只抽取1名，抽到高二班级的女生的概率为0.19，现实行分层抽样(按班级分层)在全校抽取100人，则应在高三班级抽取的人数是________．
解析：由题意，高二班级的女生的人数为1 000×0.19＝190，故高二班级的同学数为180＋190＝370；故高三班级的同学数为1 000－380－370＝250.故应在高三班级抽取的人数是250×＝25.
答案：25
4．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量(件)
130
由于不当心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，依据以上信息，可得C的产品数量是________．
解析：设样本容量为x，则×1 300＝130，∴x＝300.
∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．
设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，∴y＝80.
∴C产品的数量为×80＝800(件)．
答案：800
三、解答题
5．已知某校高三理科班同学的化学与物理的水平测试成果抽样统计如下表，若抽取同学n人，成果分为A(优秀)，B(良好)，C(及格)三个等级，设x，y分别表示化学成果与物理成果．例如：表中化学成果为B等级的共有20＋18＋4＝42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18.
x
人数
y
A
B
C
A
7
20
5
B
9
18
6
C
a
4
b
(1)求抽取的同学人数；
(2)设在该样本中，化学成果优秀率是30%，求a，b的值；
(3)在物理成果为C等级的同学中，已知a≥10，b≥8，求化学成果为A等级的人数比C等级的人数少的概率．
解：(1)由题意可知＝0.18，得n＝100.
故抽取的同学人数是100.
(2)由(1)知n＝100，
所以＝0.3，故a＝14，
而7＋9＋a＋20＋18＋4＋5＋6＋b＝100，故b＝17.
(3)由(2)易知a＋b＝31，且a≥10，b≥8，
满足条件的(a，b)有(10，21)，(11，20)，(12，19)，…，(23，8)，共有14组，其中b>a的有6组，
则所求概率为P＝＝.
6．(选做题)某大路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参与市里召开的科学技术大会．假如接受系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，假如参会人数增加1个，则在接受系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.
解：总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，
分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，
技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，
所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18.
当样本容量为n＋1时，总体容量为35，系统抽样的间隔为，由于必需是整数，所以n只能取6，即样本容量n＝6.
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