资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．(2022·天津一中高三月考)已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x＋1}，B＝{x||x－1|＋|x－2|<2}，则∩B＝( )
A．∅ B.
C．{x|x<1} D．{x|0<x<1}
解析：选B.A＝{y|y＝2x＋1}＝{y|y>1}，B＝{x||x－1|＋|x－2|<2}＝{x|<x<}，所以∁UA＝{y|y≤1}，所以∩B＝.
2．(2022·武汉市高三调研测试)若logmn＝－1，则m＋3n的最小值为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：选C.由于logmn＝－1则mn＝1，且m>0，m≠1，n>0.所以m＋3n≥2＝2，当且仅当m＝3n，即m＝，n＝时等号成立．故m＋3n的最小值为2.
3．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为( )
A. B．1
C. D.
解析：选A.由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2，即3(x2＋y2＋z2)≥4.所以x2＋y2＋z2≥.即x2＋y2＋z2的最小值为.
4．(2022·武汉市高三模拟考试)已知2x2＋3y2＋6z2－a＝0，x＋y＋z＋2－a＝0，则实数a的取值范围为( )
A．[1,4] B．(－∞，1]∪[4，＋∞)
C．(1,4) D．(－∞，1)∪(4，＋∞)
解析： 选A. 由柯西不等式，得
≥2，
即a≥(a－2)2，解得1≤a≤4.
二、填空题
5．设函数f(x)＝，若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
解析： 由题意，|x＋1|＋|x－2|－a≥0对任意x∈R恒成立，即|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立．由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以3≥a.即实数a的取值范围是(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
6．已知x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，则14(x2＋y2＋z2)≥1.所以x2＋y2＋z2≥.故x2＋y2＋z2的最小值是.
答案：
7．(2022·武汉市高三调研考试)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集是________．
解析：当x<－2时，不等式可化为－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；
当－2≤x≤1时，不等式可化为－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；
当x>1时，不等式可化为(x－1)＋(x＋2)≥5，解得x≥2.
综上，不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，－3]∪[2，＋∞)
8．已知x>0，y>0，且2x＋y＝6，则x2y的最大值为________．
解析：由于x>0，y>0，所以x2y＝x·x·y≤3＝8，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
答案：8
9．(2022·湖北省公安三中高三月考)已知x，y，z为正实数，且＋＋＝1，则x＋4y＋9z的最小值为________，此时x＝________，y＝________，z＝________.
解析：x＋4y＋9z＝(x＋4y＋9z)＝14＋＋＋ ≥14＋2＋2＋2＝36，当且仅当＝，＝，＝，即x＝2y＝3z，即x＝6，y＝3，z＝2时等号成立．
答案：36 6 3 2
10．空间向量α＝(1,1,1)，β＝(x，y，z)，已知|β|＝3，则
(1)α·β的最大值为________；
(2)此时β＝________.
解析：(1)由柯西不等式|α·β|≤|α||β|，得|α·β|≤×3，所以|α·β|≤9.故α·β≤9.
(2)由柯西不等式成立的条件可知，β＝3α，故β＝(3,3,3)．
答案：(1)9 (2)(3,3,3)
11．(2022·黄冈市黄冈中学高三模拟考试)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且ln2x＋ln2y＋ln2z＝，则的最大值为________．
解析：由柯西不等式，得(ln2x＋ln2y＋ln2z)[22＋(－1)2＋(－1)2]≥(2ln x－ln y－ln z)2，则2≤2，得－≤ln≤，则e－≤≤e.即的最大值为e.
答案：e
12．若不等式|3x－b|<4的解集中整数有且仅有1,2,3，则实数b的取值范围是________．
解析：不等式|3x－b|<4⇔－4<3x－b<4，所以<x<. (*)
若原不等式的整数解只有1,2,3，由(*)式，知0≤<1且3<≤4，解得4≤b<7且5<b≤8，所以5<b<7.
答案：(5,7)
[力气提升]
一、选择题
1．(2022·湖北省八校高三联考)若2x＋3y＋5z＝29，则函数μ＝＋＋的最大值为( )
A. B．2
C．2 D.
解析：选C.由柯西不等式，得
(12＋12＋12)≥(＋＋)2，则3(2x＋3y＋5z＋11)≥(＋＋)2，即3(29＋11)≥(＋＋)2，所以＋＋≤2.即函数μ＝＋＋的最大值为2.
2．(2022·高考湖北卷)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①与a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令或，
则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，
即＝.
二、填空题
3．(2022·武汉市部分学校高三联考)设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最大值为________．
解析：由题意，a>0，且＝0，则ac＝4.
故＋＝＝＝＝1＋≤1＋＝，当且仅当a＝9c，即a＝6，c＝时等号成立．故＋的最大值为.
答案：
4．设x，y，z∈R，若2x－3y＋z＝3，则x2＋(y－1)2＋z2的最小值为________，且此时y＝________.
解析：由2x－3y＋z＝3，得2x－3(y－1)＋z＝6，故由柯西不等式得[x2＋(y－1)2＋z2][22＋(－3)2＋12]≥(2x－3y＋3＋z)2＝36，∴x2＋(y－1)2＋z2≥.
所以最小值为，＝＝＝t，由于2x－3y＋z＝3，
∴2(2t)－3(－3t＋1)＋t＝3，所以t＝.所以y＝－.
答案： －
5．(2022·陕西省重点中学高三模拟考试)对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m，则m的值为________．
解析：不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，
只要左边恒小于或等于右边的最小值．
由于|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，即|a|≥|b|时，≥2成立，也就是的最小值是2.
答案：2
6．(2022·湖北省黄冈模拟)已知M是△ABC内的一点(不含边界)，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为x，y，z，记f(x，y，z)＝＋＋，则f(x，y，z)的最小值是________．
解析：依据·＝2，得AB·AC＝4，故△ABC的面积是AB·ACsin 30°＝1，即x＋y＋z＝1.故f(x，y，z)＝＋＋＝(x＋y＋z)(＋＋)＝14＋＋＋＋＋＋＝14＋＋＋≥14＋4＋6＋12＝36.等号当且仅当y＝2x，z＝3x,3y＝2z时成立．
答案：36
7．设a，b，c，x，y，z均为正实数，且满足a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.
解析：由柯西不等式等号成立的条件，知＝＝＝λ，再由等比定理，得＝λ.因此只需求λ的值即可．由柯西不等式，得
302＝(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝25×36，当且仅当＝＝＝λ时，上式等号成立．于是a＝λx，b＝λy，c＝λz.
从而有λ2(x2＋y2＋z2)＝25，解得λ＝±(舍负)，即＝＝＝.
答案：
8．(2022·湖南长沙市高三模拟)已知x>0，y>0，z>0，x＋2y＋3z＝3，那么2＋2＋2的最小值为________．
解析：由柯西不等式，得
(12＋12＋12)≥2，
即3≥
2，当且仅当x＋＝2y＋＝3z＋时等号成立．由于＋＋＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋≥＋2＋2＋2＝，当且仅当
＝，＝，＝，即x∶y∶z＝6∶3∶2时等号成立，且x∶y∶z＝6∶3∶2也满足x＋＝2y＋＝3z＋，即两次等号可以同时成立，所以
3≥2.
即2＋2＋2≥.
答案：
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