资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．(2022·北京海淀高三期中测试)不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.画出平面区域如图所示：
直线y＝kx确定垂直x＋y－4＝0，即k＝1，只有这样才可使围成的区域为直角三角形，且面积为1.
2．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的( )
解析：选C.|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|<1表示x＝±1所夹含y轴的带状区域．
3．(2022·广东省惠州市调研测试)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最小值为( )
A．－14 B．－15
C．－16 D．－17
解析：选B.由图可知当目标函数z＝2x＋4y经过y＝x与x＋y＋5＝0的交点时取得最小值，联立，解得交点坐标为(－2.5，－2.5)，故zmin＝－15.
4．(2022·安徽合肥市质量检测)点(x，y)满足若目标函数z＝x－2y的最大值为1，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－3 D．3
解析：选A.由题意可知，目标函数经过点(a,1－a)时达到最大值1，即a－2(1－a)＝1，解得a＝1.
5．某所学校方案聘请男老师x名，女老师y名，x和y需满足约束条件，则该校聘请的老师最多为( )
A．10名 B．11名
C．12名 D．13名
解析：
选D.设z＝x＋y，作出可行域如图阴影中的整点部分，可知当直线z＝x＋y过A点时z最大，
由，得，
故z最大值为7＋6＝13.
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为________．
解析：作出可行域为△ABC(如图)，则S△ABC＝4.
答案：4
7．(2022·云南昆明市调研测试)已知变量x，y满足条件则2x－y的最大值为________．
解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x－y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时2x－y取得最大值，最大值是2x－y＝2×－＝.
答案：
8．(2022·黄冈市质检)设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)，若＝λm＋μn(λ，μ为实数)，则2λ＋μ的最大值为________．
解析：由＝(λ＋2μ，λ＋μ)＝(x，y)，得解得
所以2λ＋μ＝－2x＋4y＋x－y＝－x＋3y，即求z＝－x＋3y的最大值．
作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，
目标函数的几何意义是直线y＝x＋z在y轴上截距的3倍，结合图形在点A(1,2)处取得最大值，最大值为5.
答案：5
三、解答题
9. 已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为：
(2)依据题意有
[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，
即(14－a)(－18－a)<0，
得a的取值范围是－18<a<14.
故a的取值范围是(－18,14)．
10．变量x，y满足
(1)设z＝4x－3y，求z的最大值．
(2)设z＝，求z的最小值；
解：(1)由约束条件
作出(x，y)的可行域如图所示．
由z＝4x－3y，得y＝x－.
求z＝4x－3y的最大值，相当于求直线y＝x－在y轴上的截距－的最小值．
平移直线y＝x知，当直线y＝x－过点B时，－最小，z最大．
由解得B(5,2)．
故zmax＝4×5－3×2＝14.
(2)∵z＝＝.
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观看图形可知zmin＝kOB＝.
[力气提升]
一、选择题
1．(2022·辽宁六校联考)设变量x、y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[8,10] B．[8,9]
C．[6,9] D．[6,10]
解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，明显a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10.
2．(2022·东北三校联考)已知二元一次不等式组所表示的平面区域为M.若M与圆(x－4)2＋(y－1)2＝a(a>0)至少有两个公共点，则实数a的取值范围是( )
A. B．(1,5)
C. D．(1,5]
解析：选C.如图，若使以(4,1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x－y－2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a＝2＝，当圆的半径增大到恰好过点A(2,2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时a＝5，故a的取值范围是<a≤5.
二、填空题
3．(2022·高考上海卷)满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是__________．
解析：作出可行域如图所示：
由图可知，当目标函数线经过点(2,0)时，目标函数z＝y－x取得最小值，zmin＝0－2＝－2.
答案：－2
4．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x＋6y最大值的变化范围是[20,22]，则t的取值范围是________．
解析：由约束条件确定的可行域如图，当目标函数过点A时取得最大值，由，解得A(，)，所以20≤9×＋6×≤22，解得4≤t≤6.
答案：[4,6]
三、解答题
5．某玩具生产公司每天方案生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样支配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
整理得
目标函数为w＝2x＋3y＋300.
作出可行域，如图所示：
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．
由得
最优解为A(50,50)，所以wmax＝550(元)．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大为550元．
6．(选做题)若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
解得－4<a<2.
故所求a的取值范围是(－4,2)．
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