资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
解析：选B.由b＝x－2a，
得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)
＝(0,6，－20)．
2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则|CM|等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设M(x，y，z)，
则x＝＝2，y＝＝，z＝＝3，
即M，
|CM|＝ ＝.
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1
解析：选C.
如图，＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝，y＝.
4．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2,4 D．4，，－15
解析：选B.∵⊥，∴·＝0，
即3＋5－2z＝0，得z＝4.
又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，
则解得
5．(2022·山东青岛调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.如图，设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝b·c＝c·a＝0.
由条件知＝＋＋＝－(a＋b＋c)＋a＋c＝a－b＋c，
∴2＝a2＋b2＋c2＝，
∴||＝.
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，则垂足Q的坐标为________．
解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，
所以垂足Q的坐标为(0，，)．
答案：(0，，)
7．(2022·江苏徐州模拟)给出下列命题：
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；③若＝＋，则P，A，B三点共线．其中不正确命题的序号是__________．
解析：只有当向量a，b共线反向且|a|＞|b|时成立，故①不正确；当a与b共面时，向量a与b所在的直线平行、相交或异面，故②不正确；由＋≠1知，三点不共线，故③不正确．综上可得①②③均不正确．
答案：①②③
8．(2022·浙江杭州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为__________．
解析：由题意知＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)．
又·＝0，||＝||，可得x＝2.
答案：2
三、解答题
9．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝，
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b相互垂直，求k的值．
解：∵A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，
a＝，b＝，
∴a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
(1)cos θ＝＝＝－，
∴a和b的夹角θ的余弦值为－.
(2)∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
且(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8
＝2k2＋k－10＝0.
则k＝－或k＝2.
10．如图所示，已知空间四边形
ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；
(2)EG的长；
(3)异面直线EG与AC所成角的大小．
解：设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝＝c－a，
＝－a，＝b－c.
(1)·＝(c－a)·(－a)
＝－a·c＋a2
＝－＋＝.
(2)＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋＝－a＋b＋c，
∴2＝(－a＋b＋c)2
＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝，
∴||＝，即EG的长为.
(3)由(2)知，·＝(－a＋b＋c)·b
＝－a·b＋b2＋c·b＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
故异面直线EG与AC所成的角为45°.
[力气提升]
一、选择题
1．设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的外形是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．无法确定
解析：选C.·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋2＝2＞0.同理·＞0，·＞0.故△BCD为锐角三角形．
2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP相互平分，则满足＝λ的实数λ的值有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则P(x，y,2)，O(1,1,0)，
∴OP的中点坐标为.
又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，
而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，
∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.
∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.
二、填空题
3．在下列条件中，使M与A、B、C确定共面的是________．
①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0.
解析：∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面对量，即M、A、B、C四点共面．
答案：③
4. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，假如B1E⊥平面ABF，则|CE|与|DF|的和的值为________．
解析：以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
设|CE|＝x，|DF|＝y，
则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴＝(x－1,0,1)．
又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴＝(1,1，y)，
由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，
只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.
答案：1
三、解答题
5. 如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
解：(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
(2)证明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥，∴A1F⊥C1E.
(3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面，
∴，，共面．
选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，
使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)
＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
∴，解得λ1＝，λ2＝1.
于是＝＋.
6. (选做题)如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值．
解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1，，0)，D(0,0,0)，C(－3，，0)．
设PD＝a，则P(0,0，a)，＝(－1，－，0)，
＝(－3，，－a)．
∵·＝3－3＝0，∴BD⊥PC.
(2)由题意知，＝(0，，0)，＝(0,0，a)，＝(1,0，－a)，＝(－3，，－a)，
∵＝λ，∴＝(－3λ，λ，－aλ)，
＝＋＝(0,0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)
＝(－3λ，λ，a－aλ)．
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则即
令z＝1，得x＝a，∴n＝(a,0,1)．
∵DE∥平面PAB，∴·n＝0，∴－3aλ＋a－aλ＝0，
即a(1－4λ)＝0，∵a≠0，∴λ＝.
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