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课时提升卷(二十四)
平面对量应用举例
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.已知三个力F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4= ( )
A.(-1，-2) B.(1，-2)
C.(-1，2) D.(1，2)
2.(2021·兰州高一检测)已知平面上三点A，B，C满足(BC→+BA→)·AC→=0，则△ABC的外形是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.过点A(2，3)，且垂直于向量a=(2，1)的直线方程为 ( )
A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0
4.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且OP→=3OA→-OB→2，则
( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
5.(2021·武汉高一检测)设P，Q为△ABC内的两点，且AP→=25AB→+15AC→，AQ→=23AB→+14AC→，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ( )
A.15 B.45 C.14 D.13
二、填空题(每小题8分，共24分)
6.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(2，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开头时点P的坐标为(-1，1)，则3秒后点P的坐标为 .
7.已知向量a=(6，2)，b=(-4，12)，过点A(3，-1)且与向量a+2b平行的直线l的方程为 .
8.河水的流速为2m/s，一艘小船以10m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为 .
三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)
9.两个力F1=i+j，F2=4i-5j作用于同一质点，使该质点从A(20，15)移到点B(7，0).(其中i，j是x轴，y轴正方向上的单位向量)
求：(1)F1，F2分别对该质点做的功.
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功.
10.(2021·抚州高一检测)如图所示，□ABCD中，AB→=a，AD→=b，BM=23BC，AN=14AB，
(1)试用向量a，b来表示DN→，AM→.
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值.
11.(力气挑战题)已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB=∠FDC.
答案解析
1.【解析】选D.由物理学问知：F1+F2+F3+F4=0，
故F4=-(F1+F2+F3)=(1，2).
2.【解析】选A.设AC的中点为D，
则BC→+BA→=2BD→，
所以2BD→·AC→=0，所以AC⊥BD，
所以△ABC是等腰三角形.
【变式备选】已知A(1，2)，B(4，1)，C(0，-1)，则△ABC的外形为 .
【解析】由于A(1，2)，B(4，1)，C(0，-1)，
所以AB→=(3，-1)，AC→=(-1，-3)，
所以|AB→|=|AC→|=10，
AB→·AC→=(3，-1)·(-1，-3)
=3×(-1)+(-1)×(-3)=0，
所以AB→⊥AC→，所以△ABC是等腰直角三角形.
答案：等腰直角三角形
3.【解析】选A.设P(x，y)为直线上一点，则PA→⊥a，
即(2-x)×2+(3-y)×1=0，即2x+y-7=0.
4.【解析】选B.由OP→=3OA→-OB→2，
得2OP→=3OA→-OB→，
即2(OP→-OA→)=OA→-OB→，
即2AP→=BA→=-AB→，
即AP→=-12AB→，
所以点P在线段AB的反向延长线上.
5.【解题指南】首先利用平面对量基本定理分析毁灭△ABP与△ABC，△ABQ与△ABC的面积的关系，然后求△ABP的面积与△ABQ的面积之比.
【解析】选B.如图1所示，过P作PE∥AC，交AB于点E，过P作PF∥AB，交AC于点F，
过C作CD⊥AB，垂足为D，
由平面对量基本定理及AP→=25AB→+15AC→可知
AF→=15AC→，PE=AF故PEAC=AFAC=15，
又由于Rt△ACD∽Rt△EPO，
所以POCD=PEAC=15，
S△ABPS△ABC=12ABPO12ABCD=POCD=15，
如图2所示，同理可证
S△ABQS△ABC=12ABQG12ABCH=QGCH=QMAC=14，
所以S△ABPS△ABQ=15S△ABC14S△ABC=45.
6.【解析】设点A(-1，1)，3秒后点P运动到B点，
则AB→=3v，所以OB→-OA→=3v，
所以OB→=OA→+3v=(-1，1)+3(2，-3)=(5，-8).
答案：(5，-8)
7.【解析】由题意得a+2b=(-2，3)，则直线l的方程为
3(x-3)+2(y+1)=0，即3x+2y-7=0.
答案：3x+2y-7=0
【拓展提升】向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中毁灭，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用：利用a⊥b等价于a·b=0，a∥b等价于a=λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特殊地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
8.【解析】设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v=v1+v2，|v1|=2，|v|=10.
由于v⊥v1，所以v·v1=0，
所以|v2|=| v-v1|=v2-2v·v1+v12
=100-0+4=104=226.
答案：226m/s
9.【解析】(1)AB→=(7，0)-(20，15)=(-13，-15)，
所以WF1=F1·AB→=-13-15=-28，
WF2=F2·AB→=4×(-13)+(-5)×(-15)=23.
(2)F=F1+F2=(5，-4)，
所以WF=F·AB→=5×(-13)+(-4)×(-15)=-5.
10.【解题指南】(1)依据向量加法的三角形法则和数乘向量的几何意义，用向量a，b来表示DN→，AM→.
(2)先利用A，O，M三点共线设AO→=λAM→，并用向量a，b表示DO→，然后利用D，O，N三点共线，设DO→=μDN→，最终依据向量a，b不共线列出方程组求λ，分析AO∶OM的值.
【解析】(1)由于AN=14AB，
所以AN→=14AB→=14a，
所以DN→=AN→-AD→=14a-b.
由于BM=23BC，
所以BM→=23BC→=23AD→=23b，
所以AM→=AB→+BM→=a+23b.
(2)由于A，O，M三点共线，
所以AO→∥AM→.
设AO→=λAM→，则DO→=AO→-AD→=λAM→-AD→
=λa+23b-b=λa+23λ-1b.
由于D，O，N三点共线，所以DO→∥DN→，
存在实数μ使DO→=μDN→，
λa+23λ-1b=μ14a-b.
由于向量a，b不共线，
λ=14μ,23λ-1=-μ,解得λ=314,μ=67.
所以AO→=314AM→，OM→=1114AM→，
所以AO∶OM=3∶11.
11.【证明】如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0，2)，C(2，0)，
则D(1，0)，AC→=(2，-2)
设AF→=λAC→，
则BF→=BA→+AF→=(0，2)+(2λ，-2λ)=(2λ，2-2λ)，
又DA→=(-1，2)，
由题设BF→⊥DA→，所以BF→·DA→=0，
所以-2λ+2(2-2λ)=0，所以λ=23.
所以BF→=43,23，
所以DF→=BF→-BD→=13,23，
又DC→=(1，0)，
所以cos∠ADB=DA→·DB→|DA→||DB→|=55，
cos∠FDC=DF→·DC→|DF→||DC→|=55，
又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，
所以∠ADB=∠FDC.
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