2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第7章-第4讲--基本不等式.docx

第4讲 基本不等式
一、选择题
1．若x＞0，则x＋的最小值为(　　)．
A．2 B．3 C．2 D．4
解析　∵x＞0，∴x＋≥4.
答案　D
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)．
A. B．4 C. D．5
解析　依题意得＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当，即a＝，
b＝时取等号，即＋的最小值是.
答案　C
3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则 (　　)．
A．a<v< B．v＝
C.<v< D．v＝
解析　设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b，∴v＝＝<＝.
又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.
答案　A
4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)．
A.＋有最大值4 B．ab有最小值
C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值
解析　由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ ＝ ，即＋≤ ，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．
答案　C
5．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)．
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
解析　∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
答案　D
6．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为 (　　)．
A．16 B．8 C．8 D．4
解析　如图，作出y＝|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，依据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.
答案　B
二、填空题
7．设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
解析　依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·2，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.当且仅当2x＝y＝时，2x＋y取最大值.
答案　
8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
解析　假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．
假设P点的坐标为，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4.当且仅当x＝，即x0＝时，取“＝”号．
答案　4
9．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析　由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，
则ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab－2－3≥0⇔(－3)(＋1)≥0⇒ ≥3，
∴ab≥9.
答案　[9，＋∞)
10．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________。
解析　z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0<t＝xy≤2＝.由f(t)＝t＋在上单调递减，故当t＝时f(t)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时，z有最小值.
答案　
三、解答题
11．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a，b，c都是正数，∴，，都是正数．
∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，
＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，
＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．
三式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解　(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝
≥＝，当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
13．设f(x)＝(x>0)．
(1)求f(x)的最大值；
(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)<b2－3b＋.
(1)解　f(x)＝＝≤＝2，
当且仅当x＝时，即x＝2时，等号成立．
所以f(x)的最大值为2.
(2)证明　b2－3b＋＝2＋3，
当b＝时，b2－3b＋有最小值3，
由(1)知，f(a)有最大值2，
∴对任意实数a，b，恒有f(a)<b2－3b＋.
14．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某争辩单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目预备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘四周的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．
(1)试用x表示S；
(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
解　(1)由图形知，3a＋6＝x，∴a＝.
则总面积S＝·a＋2a
＝a＝
＝1 832－，
即S＝1 832－(x＞0)．
(2)由S＝1 832－，
得S≤1 832－2 ＝1 832－2×240＝1 352.
当且仅当＝，此时，x＝45.
即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米.